Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

16.2 Stabile Verteilungen
Symmetrische stabile Verteilungen
Für α ∈ (0, 2) sei
�
θα := (1 − cos(x)) |x| −α−1 dx =
R
16.2 Stabile Verteilungen 327
� −2Γ (−α)cos(απ/2), falls α �= 1,
π, falls α =1.
Dann ist να(dx) =θ −1
α |x| −α−1 dx ein kanonisches Maß, denn
�
(1 ∧ x 2 ) να(dx) =2θ −1�
−1 −1
α α +(2−α) � < ∞.
Sei ψα die logarithmierte charakteristische Funktion, die zum unbegrenzt teilbaren
Maß μα mit kanonischem Tripel (0, 0,να) gehört. Nach der Lévy-Khinchin
Formel ist
� ∞ � � itx −1
ψα(t) = e − 1 − itx {|x|2 ist, eine charakteristische Funktion hat, die zweimal stetig differenzierbar
in 0 ist, und deren ersten beiden Ableitungen dort gleich 0 sind. Die Verteilung hat
also Erwartungswert und Varianz Null und ist damit als δ0 erkannt. Ein ähnliches
Argument zeigt, dass stabile Verteilungen im weiteren Sinne für α>2 notwendigerweise
trivial sind. ✸