Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

430 21 Die Brown’sche Bewegung
Definition 21.2. Seien (E,d) und (E ′ ,d ′ ) metrische Räume und γ ∈ (0, 1]. Eine
Abbildung ϕ : E → E ′ heißt im Punkte r ∈ E Hölder-stetig der Ordnung γ (kurz:
Hölder-γ-stetig), falls es ein ε>0 und ein C 0 gibt, sodass für alle s, r ∈ E mit d(s, t) 0, und gilt für ein ε>0 und
ein C(ε) < ∞, sowie für alle s, t ∈ I mit |t − s| ≤ε
|f(t) − f(s)| ≤C(ε) |t − s| γ ,
so ist f Hölder-stetig der Ordnung γ mit Konstante C := C(ε) ⌈T/ε⌉ 1−γ .
Beweis. (i) Klar, weil |t − s| γ ≤|t− s| γ′ für alle s, t ∈ I mit |t − s| ≤1.
(ii) Für t ∈ I und ε>0 sei Uε(t) :={s ∈ I : |s − t| 0 und C(t) < ∞ so gewählt, dass
|f(r) − f(s)| ≤C(t) ·|r − s| γ
für alle r, s ∈ Ut := U ε(t)(t).
Zu der offenen Überdeckung U := {Ut, t ∈ I} von I gibt es eine endliche
Teilüberdeckung U ′ = {Ut1 ,...,Utn }.Seiϱ > 0 eine Lebesgue’sche Zahl der
Überdeckung U ′ , das heißt, ϱ>0 ist so gewählt, dass für jedes t ∈ I ein U ∈ U
existiert mit Uϱ(t) ⊂ U. Setze
C := max � C(t1),...,C(tn), 2�f�∞ϱ γ� .