Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

446 21 Die Brown’sche Bewegung
Satz 21.27. Sei (κt)t≥0 eine Feller’sche Halbgruppe auf dem lokalkompakten, polnischen
Raum E. Dann existiert ein starker Markovprozess (Xt)t≥0 mit RCLL Pfaden
und Übergangskernen (κt)t≥0.
Einen solchen Prozess X nennen wir auch einen Feller-Prozess.
Übung 21.4.1 (Doob’sche Ungleichung). Sei X = (Xt)t≥0ein Martingal oder
|Xt|.
nichtnegatives Submartingal mit RCLL Pfaden. Für T ≥ 0 sei |X| ∗ T
Man zeige die Doob’schen Ungleichungen:
(i) Für jedes p ≥ 1 und λ>0 gilt λ p P � |X| ∗ T ≥ λ � ≤ E � |XT | p� .
(ii) Für jedes p>1 gilt E � |XT | p� ≤ E � (|X| ∗ T )p� ≤
� p
p−1
= sup
t∈[0,T ]
� p
E � |XT | p� .
Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass auf die Rechtsstetigkeit von X nicht ohne
Weiteres verzichtet werden kann. ♣
Übung 21.4.2 (Martingalkonvergenzsätze). Sei X ein stochastischer Prozess mit
RCLL Pfaden. Man zeige mit Hilfe der Doob’schen Ungleichung (Übung 21.4.1),
dass die Martingalkonvergenzsätze (f.s. Konvergenz (Satz 11.4), f.s. und L 1 -Konvergenz
für gleichgradig integrierbare Martingale (Satz 11.7) und der L p -Martingalkonvergenzsatz
(Satz 11.10)) sinngemäß für X gelten. ♣
Übung 21.4.3. Sei p ≥ 1 und X1 ,X2 ,X3 ,...p-fach integrierbare Martingale. Für
jedes t ≥ 0 gebe es ein � Xt ∈Lp (P) mit Xn n→∞
t −→ � Xt in Lp .
(i) Zeige: ( � Xt)t≥0 ist ein Martingal.
(ii) Zeige mit Hilfe der Doob’schen Ungleichung: Ist p>1 und sind X 1 ,X 2 ,...
f.s. stetig, so gibt es ein stetiges Martingal X mit den Eigenschaften: X ist eine
Modifikation von � X und Xn t
n→∞
−→ Xt in Lp für jedes t ≥ 0. ♣
Übung 21.4.4. Sei X ein stochastischer Prozess mit Werten in einem polnischen
Raum E mit RCLL Pfaden, und sei F = σ(X) die von X erzeugte Filtration, sowie
F + := (F + t )t≥0 definiert durch F + t = �
s>t Fs. SeiU⊂ E offen und C ⊂ E
abgeschlossen. Für jede Menge A ⊂ E sei τA := inf{t >0: Xt ∈ A}. Man zeige:
(i) τC ist eine F-Stoppzeit (und eine F + -Stoppzeit).
(ii) τU ist eine F + -Stoppzeit, jedoch im Allgemeinen (selbst für stetiges X) keine
F-Stoppzeit. ♣
Übung 21.4.5. Man zeige die Aussage von Bemerkung 21.22 und folgere: Ist F
eine Filtration und B eine Brown’sche Bewegung, die ein F-Martingal ist. Dann ist
B auch ein F +,∗ -Martingal. ♣