Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

10 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. Wir zeigen nur exemplarisch ein paar der Identitäten.
(1) B(Rn )=σ(E1) gilt per Definition.
(2) Sei A ∈E1. DannistA c ∈E2, also A =(A c ) c ∈ σ(E2). Daher gilt E1 ⊂
σ(E2) und dann (wegen Bemerkung 1.17) auch σ(E1) ⊂ σ(E2). Analog folgt aber
σ(E2) ⊂ σ(E1) und damit die Gleichheit.
(3) Jede kompakte Menge ist abgeschlossen. Also gilt σ(E3) ⊂ σ(E2). Sei nun
A ∈E2. Dann sind die Mengen AK := A ∩ [−K, K] n , K ∈ N, kompakt, also ist
die abzählbare Vereinigung A = �∞ K=1 AK in σ(E3). Es gilt also E2 ⊂ σ(E3) und
damit σ(E2) =σ(E3).
(4) Offenbar ist E4 ⊂E1, also σ(E4) ⊂ σ(E1). Sei nun A ⊂ Rn offen. Für x ∈ A
sei R(x) =min(1, sup{r >0: Br(x) ⊂ A}). DaA offen ist, folgt R(x) > 0.
Sei r(x) ∈ (R(x)/2,R(x)) ∩ Q. Für jedes y ∈ A und x ∈ BR(y)/3 ∩ Qn ist nun
R(x) ≥ R(y) −�x− y�2 > 2
1
3R(y), also r(x) > 3R(y), also y ∈ Br(x)(x). Also
ist A = �
x∈A∩Qn Br(x)(x) eine abzählbare Vereinigung von Mengen aus E4 und
damit in σ(E3). Es gilt also auch σ(E1) ⊂ σ(E4).
(5-12) Ähnliche Ausschöpfungsargumente wie in (4) funktionieren auch für die
Quader. In (4) können statt der offenen Kugeln Br(x) offene Quader genommen
werden. So folgt die Gleichheit mit σ(E5). Man bemerke beispielsweise, dass
n
× [ai,bi) =
i=1
∞�
n
× k=1 i=1
�
ai − 1
k ,bi
�
∈ σ(E5).
Die anderen Inklusionen Ei ⊂ σ(Ej) zeigt man analog. ✷
Bemerkung 1.24. Jedes der Mengensystem E1, E2, E3, E5,...,E12 (nicht aber E4)
ist schnittstabil, mithin ist die Borel’sche σ-Algebra jeweils gleich dem erzeugten
Dynkin-System: B(R n ) = δ(Ei) für i = 1,...,12. Die Mengensysteme
E4,...,E12 sind zudem abzählbar. Dies ist eine Eigenschaft, die wir an späterer
Stelle wieder benötigen werden. ✸
Definition 1.25 (Spur eines Mengensystems). Es sei A⊂2 Ω ein beliebiges System
von Teilmengen von Ω und A ∈ 2 Ω \ {∅}. Das Mengensystem
A � � := {A ∩ B : B ∈A}⊂2
A
A
heißt Spur von A auf A, oder Einschränkung von A auf A.
(1.6)
Satz 1.26. Ist A eine σ-Algebra, oder eines der Mengensysteme aus den Definitionen
1.6 – 1.10 auf Ω, soistA � � ein Mengensystem vom selben Typ, allerdings auf
A
A statt Ω.
Beweis. Übung! ✷