Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

218 11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Xn :=
�
C∈Zn: P[C]>0
Q(C)
P[C] C.
Offenbar ist X an F adaptiert. Sei B ∈Fnund m ≥ n. Für jedes C ∈ Zm gilt
entweder C ∩ B = ∅ oder C ⊂ B.Alsoist
E[Xm B] = � Q(C)
P[C ∩B] =
P[C] �
Q(C) =Q(B). (11.1)
C∈Zm: P[C]>0
Insbesondere ist X also ein F-Martingal.
C∈Zm: C⊂B
Wir nehmen nun an, dass Q absolutstetig bezüglich P ist. Nach Beispiel 7.39 ist X
dann gleichgradig integrierbar. Nach dem Martingalkonvergenzsatz konvergiert X
fast sicher und in L1 gegen eine Zufallsvariable X∞. Nach (11.1) ist E[X∞ B] =
Q(B) für jedes B ∈ �
n∈N Fn, also auch für jedes B ∈F. Mithin ist X∞ die
Radon-Nikodym-Dichte von Q bezüglich P.
Man beachte, dass wir für diesen Beweis des Satzes von Radon-Nikodym nirgends
die Existenz bedingter Erwartungen vorausgesetzt haben, also nicht in versteckter
Weise auf den Satz selber zurückgegriffen haben.
Man könnte einwenden, dass wir hier nur den Spezialfall von W-Maßen behandeln
konnten. Dieser Mangel kann jedoch sehr leicht behoben werden: Sind μ und ν
beliebige (jedoch von Null verschiedene) σ-endliche Maße, dann gibt es messbare
Funktionen g, h : Ω → (0, ∞) mit � gdμ =1und � hdν =1. Wir setzen nun
P = gμ und Q = hν. Offenbar gilt genau dann Q ≪ P, wennν≪μ. In diesem
Fall ist g
hX∞ eine Version der Radon-Nikodym-Ableitung dν
dμ .
Auf die Einschränkung, dass F abzählbar erzeugt werden kann, kann man ebenfalls
verzichten. Mit Hilfe der Approximationssätze für Maße kann man zeigen, dass es
stets eine abzählbar erzeugte σ-Algebra G⊂Fgibt, sodass für jedes A ∈Fein
B ∈Gexistiert mit P[A △ B] =0. Hiermit lässt sich der allgemeine Fall beweisen.
Wir führen dies hier nicht aus, sondern verweisen auf [157, Kapitel 14.13]. ✸
Übung 11.2.1. Die Aussage von Satz 11.10 ist für p =1im Allgemeinen falsch.
Man gebe ein Beispiel an für ein nichtnegatives Martingal X mit E[Xn] =1für
n→∞
jedes n ∈ N, aber Xn −→ 0 fast sicher. ♣
Übung 11.2.2. Seien X1,X2,...unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen
mit �∞ n=1 1
n2 Var[Xn] < ∞. Man zeige mit Hilfe des Martingalkonvergenzsatzes
das starke Gesetz der großen Zahl für (Xn)n∈N. ♣
Übung 11.2.3. Man gebe ein Beispiel an für ein quadratisch integrierbares Martingal,
das fast sicher konvergiert, aber nicht in L 2 . ♣
Übung 11.2.4. Man zeige: In Satz 11.14 gilt im Allgemeinen nicht die Umkehrung.
Das heißt, es gibt ein quadratintegrierbares Martingal X, das fast sicher konvergiert,
für das aber nicht gilt, dass lim
n→∞ 〈X〉n < ∞ fast sicher. ♣