Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Im Folgenden gelte stets:
26.2 Schwache Lösungen und Martingalproblem 565
(t, x) ↦→ σ(t, x) bzw. (t, x) ↦→ a(t, x) ist beschränkt auf kompakten Mengen.
(26.21)
Diese Bedingung sichert die Äquivalenz des lokalen Martingalproblems zu dem
etwas gebräuchlicheren Martingalproblem (siehe [86, Proposition 5.4.11]).
Satz 26.25 (Eindeutigkeit im Martingalproblem). Es gelte (26.21).Für jedes x ∈
R n existiere eine Lösung X x von LMP(a, b, δx), deren Verteilung wir mit Px :=
P ◦ (X x ) −1 bezeichnen.
Für je zwei Lösungen X x und Y x von LMP(a, b, δx) gelte
P ◦ (X x T ) −1 = P ◦ (Y x T ) −1
für jedes T ≥ 0. (26.22)
Dann ist LMP(a, b) gut gestellt, und der kanonische Prozess X ist ein starker Markovprozess
bezüglich (Px, x∈ R n ).Ista = σσ T ,soistX unter Px die eindeutige
schwache Lösung der SDGL (26.15).
Beweis. Siehe [48, Theorem 4.4.1 und Problem 49] und [86, Proposition 5.4.11].✷
Eine wesentliche Stärke dieses Satzes liegt darin, dass wir die Eindeutigkeit nicht
des gesamten Prozesses, sondern in (26.22) nur der eindimensionalen Randverteilungen
prüfen müssen. Wir werden in Abschnitt 26.3 Beispiele dafür angeben, wie
dies ausgenutzt werden kann.
Die Frage nach der Existenz von Lösungen einer stochastischen Differentialgleichung
(oder äquivalent: eines lokalen Martingalproblems) ist leichter zu beantworten
als die Frage nach der Eindeutigkeit von Lösungen. Wir wissen bereits, dass
Eindeutigkeit unter Lipschitzbedingungen an die Koeffizienten b und σ (nicht σσT !)
gilt (nach Satz 26.8 und Satz 26.18), da hier starke Eindeutigkeit der Lösungen gilt.
Eine vielleicht auf den ersten Blick verwirrende Erkenntnis ist, dass der Zufall stabilisierend
wirken kann, dass also eine deterministische Differentialgleichung, deren
Lösung nicht eindeutig ist, durch stochastische Störterme eindeutig lösbar werden
kann. Dazu folgendes eindimensionale Beispiel:
dXt =sign(Xt) |Xt| 1/3 dt + σdWt, X0 =0. (26.23)
Ist σ = 0, so haben wir es mit einer deterministischen Differentialgleichung zu
tun, die ein Kontinuum von Lösungen mit Parametern v ∈{−1, +1} und T ≥ 0
hat, nämlich Xt = v 2 √ 2(t − T ) 3/2 {t>T }. Ist σ > 0, so wird die Instabilität
der Gleichung (26.23) an x =0durch Verrauschen aufgelöst. Wir zitieren hier den
folgenden Satz für den zeitunabhängigen Fall aus [140, Satz V.24.1] (siehe auch
[149, Kapitel 10]).