Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

10 Optional Sampling Sätze
Wir haben im vorigen Kapitel gesehen, dass aus Martingalen wieder Martingale
werden, wenn man gewisse Spielstrategien anwendet. Wir wollen in diesem Kapitel
ähnliche Stabilitätseigenschaften für zufällig gestoppte Martingale zeigen. Um die
Aussagen auch für Submartingale und Supermartingale zu bekommen, geben wir
im ersten Abschnitt einen Zerlegungssatz für adaptierte Prozesse an. Im zweiten
Abschnitt kommen dann die Optional Sampling und Optional Stopping Sätze.
10.1 Doob-Zerlegung und quadratische Variation
Sei X =(Xn)n∈N0 ein adaptierter Prozess mit E[|Xn|] < ∞ für jedes n ∈ N0.Wir
wollen X zerlegen in eine Summe aus einem Martingal und einem vorhersagbaren
Prozess. Dazu definieren wir für n ∈ N0
und
Mn := X0 +
n�
An :=
k=1
n�
k=1
� �
Xk − E[Xk
�Fk−1] �
� �
�
E[Xk �Fk−1] − Xk−1 .
(10.1)
Offenbar ist Xn = Mn + An. Per Konstruktion ist A vorhersagbar mit A0 =0, und
M ist ein Martingal, denn
�
E[Mn − Mn−1
�Fn−1] = E � �
Xn − E[Xn �Fn−1] � �
�Fn−1 = 0.
Satz 10.1 (Doob-Zerlegung). Sei X =(Xn)n∈N0 ein adaptierter, integrierbarer
Prozess. Dann existiert eine eindeutige Zerlegung X = M + A, wobei A vorhersagbar
ist mit A0 =0und M ein Martingal. Diese Darstellung von X heißt
Doob–Zerlegung. X ist genau dann ein Submartingal, wenn A monoton wachsend
ist.
Beweis. Nur die Eindeutigkeit ist zu zeigen. Seien also X = M + A = M ′ + A ′
zwei Zerlegungen mit den genannten Eigenschaften. Dann ist M −M ′ = A ′ −A ein