Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

428 20 Ergodentheorie
Beweis. (i) Dies haben wir schon in Beispiel 20.17 gezeigt.
(ii) Da X irreduzibel ist, ist π({x}) > 0 für jedes x ∈ E nach Satz 17.51.
” =⇒ “ Sei X periodisch mit Periode d ≥ 2. Istn∈ N kein Vielfaches von d, so
ist pn (x, x) =0. Mithin gilt für A = B = {X0 = x}
lim inf
n→∞ Pπ[X0 = x, Xn = x] = lim inf
n→∞ π({x}) pn (x, x)
Also ist X nicht mischend.
=0�= π({x}) 2 = Pπ[X0 = x] 2 .
” ⇐= “ Sei X aperiodisch. Zur Vereinfachung der Notation können wir annehmen,
dass X der kanonische Prozess auf EN0 ist. Seien A, B ⊂ Ω = EN0 messbar.
Zu jedem ε > 0 existiert ein N ∈ N und Ãε ∈ E {0,...,N} , sodass, mit
Aε = Ãε × E {N+1,N+2,...} gilt, dass P[A △ Aε ]