Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

86 4 Das Integral
fn ↑ f und gn ↑ g. Es gilt dann aber auch (αfn + βgn) ↑ αf + βg. Nach (ii)
und Lemma 4.3 gilt daher
�
�
(αf + βg) dμ = lim
n→∞
(αfn + βgn) dμ
�
�
� �
= α lim
n→∞
fn dμ + β lim
n→∞
gn dμ = α fdμ+ β gdμ. ✷
Für messbares f : Ω → R ist f + ≤|f| und f − ≤|f|, also gilt auch � f ± dμ ≤
� |f| dμ. Ist speziell � |f| dμ < ∞, so ist auch � f − dμ < ∞ und � f + dμ < ∞.
Daher können wir die folgende Definition treffen, die abschließend das Integral für
messbare Funktionen erklärt.
Definition 4.7 (Integral für messbare Funktionen). Eine messbare Funktion
f : Ω → R heißt μ-integrierbar, falls � |f| dμ < ∞. Wir schreiben
L 1 (μ) :=L 1 �
(Ω,A,μ):= f : Ω → R : f ist messbar und � �
|f| dμ < ∞ .
Für f ∈L1 (μ) definieren wir das Integral von f bezüglich μ durch
�
� �
f(ω) μ(dω) := fdμ:= f + �
dμ − f − dμ. (4.3)
Ist lediglich � f − dμ < ∞ oder � f + dμ < ∞,sodefinieren wir ebenfalls � fdμ
durch (4.3), wobei wir dann die Werte +∞ beziehungsweise −∞ zulassen.
� �
Ist A ∈A, so schreiben wir fdμ:= (f A) dμ.
Satz 4.8. Sei f : Ω → [0, ∞] messbar.
A
(i) Es ist f =0 fast überall genau dann, wenn � fdμ=0gilt.
(ii) Ist � fdμ