Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

558 26 Stochastische Differentialgleichungen
Nach dem Lemma von Borel-Cantelli folgt sups≤t �XN s − XN−1 2
s �
N→∞
−→ 0 fast
sicher. Mithin ist fast sicher (XN )N∈N eine Cauchy-Folge in dem Banachraum
(C([0,T]), �·�∞). Also konvergiert XN fast sicher gleichmäßig gegen ein X.
Gleichmäßige Konvergenz impliziert Konvergenz der Integrale, also ist X eine starke
Lösung von (26.2).
Markoveigenschaft Die starke Markoveigenschaft folgt direkt aus der starken
Markoveigenschaft der Brown’schen Bewegung, die die SDGL antreibt. ✷
Wichtige Beispiele für diesen Satz haben wir oben schon kennen gelernt. Viele interessante
Probleme führen jedoch auf stochastische Differentialgleichungen, bei
denen die Koeffizienten nicht Lipschitz-stetig sind. Im eindimensionalen Fall kann
man mit speziellen Vergleichsmethoden zeigen, dass es ausreicht, dass σ Hölder-
in der Ortsvariablen ist.
stetig von der Ordnung 1
2
Satz 26.10 (Yamada-Watanabe). Wir betrachten die eindimensionale Situation
m = n =1.EsgebeK0 und a, b ≥ 0 Parameter sind. Die Bedingungen
von Satz 26.10 sind mit α = 1
2 und K = √ γ + a erfüllt. Die eindeutige
starke Lösung X hat offenbar die Eigenschaft, nichtnegativ zu bleiben, wenn
X0 ≥ 0 ist. (Tatsächlich kann man sogar zeigen dass Xt > 0 für alle t>0 gilt,
falls 2ab/γ ≥ 1, und dass Xt die Null mit Wahrscheinlichkeit 1 beliebig häufig
trifft, falls 2ab/γ < 1. Siehe etwa [78, Beispiel IV.8.2, Seite 237]. Vergleiche Beispiel
26.16.)
Dieser Prozess wird je nach Kontext gelegentlich als Feller’sche Verzweigungsdiffusion
mit Immigration oder als Cox-Ingersoll-Ross Modell für die zeitliche
Entwicklung von Zinsraten bezeichnet.
Wir berechnen für den Fall a = b =0mit der Itô-Formel, dass
e −λXt − e −λx − γ λ2
2
� t
e
0
−λXs � t
Xs ds = λ
0
e −λXs
�
γXs dWs