Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

170 8 Bedingte Erwartungen
Satz 8.14 (Eigenschaften der bedingten Erwartung). Seien (Ω,A, P) und X
wie oben sowie G⊂F⊂Aσ-Algebren. Ferner sei Y ∈L 1 (Ω,A, P). Dann gilt:
(i) (Linearität) E[λX + Y |F]=λE[X |F]+E[ Y |F].
(ii) (Monotonie) Ist X ≥ Y f.s., so ist E[X |F] ≥ E[ Y |F].
(iii) Ist E[|XY |] < ∞ und Y messbar bezüglich F, dann ist
E[XY |F]=Y E[X |F] und E[ Y |F]=E[ Y |Y ]=Y.
(iv) (Turmeigenschaft) E[E[X |F]|G]=E[E[X |G]|F]=E[X |G].
(v) (Dreiecksungleichung) E[|X| � �F] ≥ � �E[X |F] � �.
(vi) (Unabhängigkeit) Sind σ(X) und F unabhängig, so ist E[X |F]=E[X].
(vii) Gilt P[A] ∈{0, 1} für jedes A ∈F,soistE[X |F]=E[X].
(viii) (Majorisierte Konvergenz) Ist Y ≥ 0 und ist (Xn)n∈N eine Folge von Zu-
n→∞
fallsvariablen mit |Xn| ≤Y für n ∈ N sowie Xn −→ X f.s., so gilt
lim
n→∞ E[Xn |F]=E[X |F] f.s. und in L 1 (P). (8.7)
Beweis. (i) Die rechte Seite ist F-messbar, und für A ∈Fist
E � � �� �
A λE[X |F]+E[Y |F] = λE A E[X |F] � + E � A E[Y |F] �
= λE[ A X]+E[ A Y ]
= E � A (λX + Y ) � .
(ii) Sei A = {E[X |F] < E[Y |F]} ∈F.WegenX ≥ Y ist E[ A (X − Y )] ≥ 0,
also P[A] =0.
(iii) Sei zunächst X ≥ 0 und Y ≥ 0. Für n ∈ N setze Yn =2 −n ⌊2 n Y ⌋. Dannist
Yn ↑ Y sowie Yn E[X |F] ↑ Y E[X |F] (da E[X |F] ≥ 0 nach (ii)). Es gilt nach
dem Satz von der monotonen Konvergenz (Lemma 4.6(ii))
Andererseits ist
E � A Yn E[X |F] � n→∞
−→ E � A Y E[X |F] � .
E � A Yn E[X |F] � =
=
∞�
E � A {Yn=k 2−n } k 2 −n E[X |F] �
k=1
∞�
E � A {Yn=k 2−n } k 2 −n X �
k=1
= E � A YnX � n→∞
−→ E[ A YX].