Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

�
�
P
k∈K
Bk
�
2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 59
�
�
�
= P Aj = �
P[Aj] = � �
P[Aj] = �
P[Bk]. ✷
j∈J
j∈J
k∈K j∈Jk
Beispiel 2.27. Sind (Xn)n∈N unabhängige, reelle Zufallsvariablen, dann sind auch
(Yn)n∈N =(X2n − X2n−1)n∈N unabhängig. In der Tat ist für jedes n ∈ N die
Zufallsvariable Yn schon messbar bezüglich σ(X2n,X2n−1) nach Satz 1.91, und
(σ(X2n,X2n−1))n∈N ist unabhängig nach Satz 2.26. ✸
Beispiel 2.28. Seien (Xm,n) (m,n)∈N 2 unabhängige Bernoulli-Zufallsvariablen mit
Parameter p ∈ (0, 1). Sei
Ym := inf � n ∈ N : Xm,n =1 � − 1
die Wartezeit auf den ersten ” Erfolg“ in der m-ten Zeile der Matrix (Xm,n)m,n.
Dann sind (Ym)m∈N unabhängige, geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit Parameter
p (siehe Beispiel 1.105(iii)). Denn:
k+1 �
{Ym ≤ k} =
l=1
k∈K
{Xm,l =1}∈σ(Xm,l, l=1,...,k+1)⊂ σ(Xm,l, l∈ N).
Also ist Ym messbar bezüglich σ(Xm,l,l ∈ N), und damit ist (Ym)m∈N unabhängig.
Ferner ist
P[Ym >k]=P[Xm,l =0,l=1,...,k+1]=
k+1 �
l=1
P[Xm,l =0]=(1− p) k+1 .
Es folgt P[Ym = k] =P[Ym >k− 1] − P[Ym >k]=p(1 − p) k . ✸
Definition 2.29 (Faltung). Seien μ und ν W-Maße auf (Z, 2 Z ).Wirdefinieren die
Faltung μ ∗ ν als das W-Maß auf (Z, 2 Z ) mit
(μ ∗ ν)({n}) =
∞�
m=−∞
μ({m}) ν({n − m}).
Wir definieren die n-te Faltungspotenz rekursiv durch μ ∗1 = μ und
μ ∗(n+1) = μ ∗n ∗ μ.
Bemerkung 2.30. Es gilt μ ∗ ν = ν ∗ μ ✸
Satz 2.31. Sind X und Y unabhängige Z-wertige Zufallsvariablen, so gilt
PX+Y = PX ∗ PY .