Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

100 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
E � |ST | � =
≤
∞�
n=1
E � �
|Sn| {T =n} =
∞�
n=1
E � |Sn| � E � �
{T =n}
∞�
E � |X1| � n P[T = n] =E[|X1|] E[T ].
n=1
Die selbe Rechnung ohne Betragstriche liefert den Rest der Behauptung. ✷
Wir stellen hier ein paar einfache Eigenschaften der Varianz zusammen.
Satz 5.6. Sei X ∈L 2 (P). Dann gilt:
(i) Var[X] =E � (X − E[X]) 2� ≥ 0,
(ii) Var[X] =0 ⇐⇒ X = E[X] fast sicher,
(iii) Die Abbildung f : R → R, x ↦→ E � (X −x) 2� ist minimal genau in x0 = E[X]
mit f(E[X]) = Var[X].
Beweis. (i) Klar nach Bemerkung 5.2(ii).
(ii) Nach Satz 5.3(iii) ist E � (X − E[X]) 2� =0 ⇐⇒ (X − E[X]) 2 =0f.s.
(iii) Es ist f(x) =E[X 2 ] − 2x E[X]+x 2 = Var[X]+(x − E[X]) 2 . ✷
Satz 5.7. Die Abbildung Cov : L2 (P) ×L2 (P) → R ist eine positiv semidefinite
symmetrische Bilinearform, und es gilt Cov[X, Y ]=0, falls Y fast sicher konstant
ist. Ausgeschrieben heißt dies: Für X1,..., Xm, Y1,..., Yn ∈L2 (P) und
α1,...,αm, β1,...,βn ∈ R, sowie d, e ∈ R gilt
⎡
⎤
m�
n�
Cov ⎣d + αiXi,e+ ⎦ = �
αiβj Cov[Xi,Yj]. (5.1)
i=1
βjYj
j=1
Speziell gilt die Bienaymé-Gleichung
�
m�
�
m�
Var = Var[Xi]+
Xi
i=1
i=1
i,j
m�
i,j=1
i�=j
Cov[Xi,Xj]. (5.2)
Für unkorrelierte X1,...,Xm gilt Var [ � m
i=1 Xi] = � m
i=1 Var[Xi].