Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5.3 Starkes Gesetz der Großen Zahl 109
Lemma 5.19. Für jedes x ≥ 0 ist 2x �
n −2 ≤ 4.
n>x
Beweis. Für m ∈ N ist nach dem Integralvergleichskriterium
Lemma 5.20. Es gilt
∞�
n
n=m
−2 ≤ m −2 � ∞
+
m
∞�
n=1
E � Y 2 �
n
n2 ≤ 4 E[|X1|].
t −2 dt = m −2 + m −1 ≤ 2
. ✷
m
Beweis. Nach Satz 4.26 ist E � Y 2 � � ∞
n = 0 P�Y 2 n > t � dt. Mit der Substitution
x = √ t erhalten wir
E � Y 2� n =
� ∞
0
2x P[|Yn| >x] dx ≤
� n
0
2x P[|X1| >x] dx.
Nach dem Satz über monotone Konvergenz und Lemma 5.19 gilt für m →∞
�
m�
�
fm(x) =
2x P[|X1| >x] ↑ f(x) ≤ 4 P[|X1| >x].
n=1
n −2 {xx] dx =4E[|X1|]. ✷
Beweis von Satz 5.17 Wie im Beweis von Satz 5.16 reicht es, Xn ≥ 0 zu betrachten.
Wähle ε>0 und setze α =1+ε.Für n ∈ N setzen wir kn = ⌊α n ⌋ und haben
speziell kn ≥ α n /2. Es ist also (mit n0 = ⌈log m/ log α⌉)
�
n: kn≥m
k −2
n ≤ 4
∞�
n=n0
α −2n =4α −2n0 (1 − α −2 ) −1 ≤ 4(1 − α −2 ) −1 m −2 . (5.7)
Unser Ziel ist es, mit Hilfe von Lemma 5.20 die Abschätzung (5.6) für (Yn)n∈N
und (Tn)n∈N zu verfeinern. Die Chebyshev’sche Ungleichung liefert (zusammen
mit (5.7)) wiederum für δ>0