Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

6 1 Grundlagen der Maßtheorie
Satz 1.15 (Schnitt von Mengensystemen). Ist I eine beliebige Indexmenge und Ai
eine σ-Algebra für jedes i ∈ I,soist
AI := � A ⊂ Ω : A ∈Ai für jedes i ∈ I � = �
eine σ-Algebra. Dies gilt analog für: Ringe, σ-Ringe, Algebren und Dynkin-Systeme;
nicht aber für Semiringe.
Beweis. Wir führen den Beweis hier nur für σ-Algebren durch. Wir prüfen für A
die Punkte (i)-(iii) aus Definition 1.2.
(i) Für jedes i ∈ I ist Ω ∈Ai.AlsoistΩ ∈A.
(ii) Sei A ∈A.DannistA ∈Ai für jedes i ∈ I. Also ist auch A c ∈Ai für jedes
i ∈ I. Mithin ist A c ∈A.
(iii) Seien A1,A2,...∈A.DannistAn ∈Ai für jedes n ∈ N und jedes i ∈ I.Also
ist auch A := � ∞
n=1 An ∈Ai für jedes i ∈ I und damit A ∈A.
Gegenbeispiel für Semiringe: Seien Ω = {1, 2, 3, 4}, A1 = {∅,Ω,{1}, {2, 3}, {4}}
und A2 = {∅,Ω,{1}, {2}, {3, 4}}. Dann sind A1 und A2 Semiringe, aber A1 ∩
A2 = {∅,Ω,{1}} ist keiner. ✷
Satz 1.16 (Erzeugte σ-Algebra). Sei E ⊂ 2Ω Algebra σ(E) mit E⊂σ(E):
. Dann existiert eine kleinste σ-
�
σ(E) :=
A.
A⊂2 Ω ist σ-Algebra
A⊃E
σ(E) heißt die von E erzeugte σ-Algebra. E heißt Erzeuger von σ(E). Analog wird
das von E erzeugte Dynkin-System δ(E) definiert.
Beweis. A =2 Ω ist eine σ-Algebra mit E⊂A. Also ist der Schnitt nicht leer. Nach
Satz 1.15 ist σ(E) eine σ-Algebra, und dies ist offenbar die kleinste σ-Algebra, die
E enthält. Für Dynkin-Systeme geht der Beweis genauso. ✷
Bemerkung 1.17. Es gelten die folgenden einfachen Aussagen.
(i) E⊂σ(E).
(ii) Gilt E1 ⊂E2,soistσ(E1) ⊂ σ(E2).
(iii) A ist genau dann σ-Algebra, wenn σ(A) =A.
Die analogen Aussagen gelten für Dynkin-Systeme. Ferner ist stets δ(E) ⊂ σ(E).✸
i∈I
Ai