Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

186 9 Martingale
F = σ(D). Wir interpretieren Di als das Ergebnis einer Wette, die uns pro Spielschein
einen Gewinn oder Verlust von einer Geldeinheit bringt. Vor jedem Spiel entscheiden
wir, wie viele Spielscheine wir einsetzen wollen. Die Anzahl Hn der in der
n-ten Runde eingesetzten Spielscheine darf nur von den Ergebnissen der bisherigen
Spiele abhängen, nicht aber von Dn und auch nicht von einem Dm für m>n.Mit
anderen Worten: Es muss eine Funktion Fn : {−1, 1} n−1 → N geben mit Hn =
Fn(D1,...,Dn−1). (Für das Petersburger Spiel (Beispiel 4.22) galt beispielsweise
Fn(x1,...,xn−1) =2 n−1 {x1=x2=...=xn−1=0}.) Damit ist H dann vorhersagbar.
Andererseits besitzt jedes vorhersagbare H die Gestalt Hn = Fn(D1,...,Dn−1),
n ∈ N, für gewisse Funktionen Fn : {−1, 1} n−1 → N, kommt also als Spielstrategie
in Betracht. ✸
Definition 9.15 (Stoppzeit). Eine Zufallsvariable τ mit Werten in I ∪ {∞} heißt
Stoppzeit (bezüglich F), falls für jedes t ∈ I gilt, dass
{τ ≤ t} ∈Ft.
Die Idee hinter dieser Definition ist, dass Ft den Kenntnisstand eines Beobachters
zur Zeit t wiedergibt. Der Wahrheitsgehalt der Aussage {τ ≤ t} kann also aufgrund
der Beobachtungen bis zur Zeit t bestimmt werden.
Satz 9.16. Ist I abzählbar, so ist τ genau dann eine Stoppzeit, wenn {τ = t} ∈Ft
für jedes t ∈ I gilt.
Beweis. Übung! ✷
Beispiel 9.17. Seien I ⊂ [0, ∞) abzählbar und K ⊂ R messbar, sowie X ein reeller,
adaptierter stochastischer Prozess. Wir betrachten den Zeitpunkt, zu dem X
erstmals in K ist:
τK := inf{t ≥ 0: Xt ∈ K}.
Intuitiv ist klar, dass τK eine Stoppzeit ist, denn ob {τ ≤ t} eintritt oder nicht,
können wir aufgrund der Beobachtungen von X bis zur Zeit t entscheiden. Formal
können wir argumentieren, indem wir bemerken, dass {Xs ∈ K} ∈Fs ⊂Ftfür s ≤ t gilt. Also ist auch die abzählbare Vereinigung dieser Mengen wieder in Ft:
{τK ≤ t} = �
{Xs ∈ K} ∈ Ft.
s∈I∩[0,t]
Betrachte nun den zufälligen Zeitpunkt �τ := sup{t ≥ 0: Xt ∈ K} des letzten
Aufenthalts von X in K. Zu fester Zeit t können wir aufgrund der bisherigen Beobachtungen
nicht entscheiden, ob X bereits das letzte Mal in K war. Hierzu bedürfte
es der Prophetie. Also ist �τ im Allgemeinen keine Stoppzeit. ✸