Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

12.1 Austauschbare Familien von Zufallsvariablen 225
die allgemeine hypergeometrische Verteilung (siehe etwa [58, Abschnitt 2.3.2]). Es
gilt also für paarweise disjunkte, messbare Mengen A1,...,Ak mit �k l=1 Al = E,
für i1,...,in ∈{1,...,k}, paarweise unterschiedliche j1,...,jn ∈{1,...,N}
und mit der Festlegung ml := #{r ∈{1,...,n} : ir = l} für l ∈{1,...,k}
P � Xjr ∈ Air für jedes r =1,...,n� �
k� 1 �
�ΞN = NΞN(Al)
(N)n l=1
�ml , (12.4)
wobei wir (n)l := n(n − 1) ···(n − l +1)definieren.
Was passiert nun, wenn wir N →∞gehen lassen? Wir nehmen hier der Einfachheit
halber an, dass der Limes Ξ∞(Al) = limN→∞ ΞN(Al) für jedes l =1,...,k in
einem geeigneten Sinne existiert. Dann wird aus (12.4) formal
P � Xjr ∈ Air für jedes r =1,...,n� �
n�
�Ξ∞ = Ξ∞(Al) ml . (12.5)
Aus dem Ziehen der Kugeln ohne Zurücklegen wird nun also asymptotisch für
große Kugelanzahl das Ziehen mit Zurücklegen. Damit sind die Zufallsvariablen
X1,X2,...unabhängig mit Verteilung Ξ∞ gegeben Ξ∞.
Einen formalen Beweis, der entlang der von dieser Heuristik vorgezeichneten Linie
verläuft, bringen wir in Kapitel 13.4.
Um diese Aussage, den so genannten Satz von de Finetti, in Abschnitt 12.3 rigoros
zu formulieren und zu beweisen, brauchen wir noch etwas Begriffsbildung (etwa
bedingte Unabhängigkeit). Als technisches Hilfsmittel verwenden wir in diesem
Kapitel den Konvergenzsatz für Rückwärtsmartingale, den wir in Abschnitt 12.2
formulieren.
Übung 12.1.1. Sei n ∈ N. Man zeige, dass sich jede symmetrische Funktion f :
En → R schreiben lässt als f(x) =g � � 1 n
n i=1 δxi
�
, wobei g (abhängig von f)
geeignet zu wählen ist. ♣
Übung 12.1.2. Man leite (12.4) formal her. ♣
Übung 12.1.3. Seien X1,...,Xn austauschbare quadratintegrierbare Zufallsvariablen.
Man zeige
Cov[X1,X2] ≥− 1
n − 1 Var[X1]. (12.6)
Man gebe für n ≥ 2 ein (nichttriviales) Beispiel für Gleichheit in (12.6) an. ♣
Übung 12.1.4. Seien X1,X2,X3 ...austauschbare, quadratintegrierbare Zufallsvariablen.
Man zeige, dass Cov[X1,X2] ≥ 0 gilt. ♣
Übung 12.1.5. Man zeige: Für jedes n ∈ N\{1} gibt es eine austauschbare Familie
von Zufallsvariablen X1,...,Xn, die nicht zu einer unendlichen, austauschbaren
Familie X1,X2,... fortgesetzt werden kann. ♣
l=1