Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

402 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
0
1
2 3
n n+1
4 Kanten 12 Kanten 20 Kanten 4*(2n+1) Kanten
Abb. 19.4. Effektives Netzwerk, das aus Z 2 durch Einfügen der Supraleiter entsteht. Die
Ringe der Supraleiter sind hier zu einzelnen Punkten verschmolzen.
Beispiel 19.29. Sei (E,K) ein beliebiger zusammenhängender Teilgraph des quadratischen
Gitters (Z 2 , L 2 ). Dann ist die einfache Irrfahrt auf (E,K) (siehe Definition
19.11) rekurrent. Nach dem Monotonieprinzip ist nämlich
R (E,K)
eff (0 ↔∞) ≥ R (Z2 ,L 2 )
eff (0 ↔∞)=∞. ✸
Wir formulieren das Vorgehen in den letzten Beispielen als Satz.
Satz 19.30. Seien C und C ′ Kantengewichte auf E mit C ′ (x, y) ≤ C(x, y) für
alle x, y ∈ E. Ist die Markovkette X zu den Gewichten C rekurrent, so ist es auch
die Markovkette X ′ zu den Gewichten C ′ .
Sei speziell (E,K) ein Graph und (E ′ ,K ′ ) ein Teilgraph. Ist die einfache Irrfahrt
auf (E,K) rekurrent, so ist auch die einfache Irrfahrt auf (E ′ ,K ′ ) rekurrent.
Beweis. Das folgt direkt aus Satz 19.25 zusammen mit dem Rayleigh’schen Monotonieprinzip
(Satz 19.19). ✷
Beispiel 19.31. Die symmetrische einfache Irrfahrt auf Z3 ist transient. Zum Beweis
konstruieren wir einen Teilgraphen, für den wir R ′ eff (0 ↔∞) < ∞ ausrechnen
können.
Skizze Wir betrachten die Menge aller unendlichen Pfade, die in 0 starten und
– einen Schritt in x-Richtung, y-Richtung oder z-Richtung gehen (rechts, oben oder
hinten, nicht links, unten oder vorne),
– eine eventuell andere Richtung x, y oder z wählen und dann zwei Schritte in diese
Richtung gehen,