Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 573
Für x ∈ R n und ϕ ∈ E ′ schreiben wir x ϕ := �
i∈S x(i)ϕ(i) . Wir zeigen, dass X
und Y dual zueinander sind mit der Dualitätsfunktion H(x, ϕ) =x ϕ :
Ex[X ϕ
t ]=Eϕ[x Yt ] für alle ϕ ∈ S N0 ,x∈ [0, 1] S ,t≥ 0. (26.32)
Sei mx,ϕ (t) :=Ex[X ϕ
t ] und gx,ϕ (t) :=Eϕ[xYt ]. Offenbar hat H die Ableitungen
∂iH( · ,ϕ)(x) =ϕ(i)xϕ− {i} und ∂i∂iH( · ,ϕ)(x) =2 � � ϕ(i) ϕ−2
2 x {i}. Nach der
Itô-Formel ist
X ϕ
t − X ϕ
0 −
� t
0
�
ϕ(i)r(i, j) � Xs(j) − Xs(i) � X ϕ− {i}
ds
i,j∈S
− �
i∈S
� t
0
t
� �
ϕ(i) �Xs(i)(1 γ
− Xs(i))
2
� X ϕ−2 {i}
s ds
ein Martingal. Indem wir Erwartungswerte bilden, erhalten wir ein System von linearen
Integralgleichungen
m x,0 (t) =1
m x,ϕ (t) =x ϕ � t �
+
0
i,j∈S
� t
+
0
�
ϕ(i)r(i, j) m x,ϕ+ �
{j}− {i}(s) x,ϕ
− m (s) ds
γ �
� �
ϕ(i)
�
m
2
x,ϕ− �
{i} x,ϕ
(s) − m (s) ds.
i∈S
(26.33)
Dieses System von Gleichungen lässt sich per Induktion über n = �
i∈I ϕ(i)
eindeutig lösen. Wir wollen die Lösung jedoch nicht explizit ausrechnen, sondern
nur zeigen, dass sie mit g x,ϕ (t) übereinstimmt, indem wir zeigen, dass g ein
äquivalentes System von Differentialgleichungen löst.
Für g erhalten wir wie in (26.29)
d
dt gx,ϕ (t) = �
η∈E ′
q(ϕ, η) g x,ϕ (t)
= � �
r(i, j) g x,ϕ+ �
{j}− {i}(t) x,ϕ
− g (t)
i,j∈S
+ �
� �
ϕ(i)
�
γ g
2
x,ϕ− �
{i} x,ϕ
(t) − g (t) .
i∈S
(26.34)
Zusammen mit dem Startwert g x,0 (t) =1und g x,ϕ (0) = x ϕ ist das System (26.34)
von Differentialgleichungen äquivalent zu (26.33). Also gilt die Dualität (26.32),
und damit ist die SDGL (26.31) eindeutig schwach lösbar. (Tatsächlich kann man
zeigen, dass es eine eindeutige starke Lösung gibt, sogar wenn S abzählbar unendlich
ist und r gewisse Regularitätsannahmen erfüllt, beispielsweise die Q-Matrix
einer Irrfahrt auf S = Z d ist, siehe [144].) ✸