Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

286 15 Charakteristische Funktion und Zentraler Grenzwertsatz
Da ε>0 beliebig war, stimmen die Integrale überein. Nach Satz 13.11 ist also
μ1 = μ2. ✷
Korollar 15.9. Ein endliches Maß μ auf Zd ist durch die Werte
�
ϕμ(t) =
eindeutig festgelegt.
e i〈t,x〉 μ(dx), t ∈ [−π, π) d ,
Beweis. Dies ist klar, weil ϕμ(t +2πk) =ϕμ(t) für jedes k ∈ Z d . ✷
Während das vorangehende Korollar nur eine abstrakte Eindeutigkeitsaussage liefert,
wird uns manchmal eine explizite Inversionsformel von Nutzen sein.
Satz 15.10 (Diskrete Fourier-Inversionsformel). Sei μ ∈Mf (Zd ) mit charakteristischer
Funktion ϕμ. Dann gilt für jedes x ∈ Zd μ({x}) =(2π) −d
�
e −i〈t,x〉 ϕμ(t) dt.
[−π,π) d
[−π,π) d
[−π,π) d
Beweis. Nach dem Satz über majorisierte Konvergenz ist
�
e −i〈t,x〉 �
ϕμ(t) dt = e −i〈t,x〉
⎛
⎝ lim
�
e i〈t,y〉 ⎞
μ({y}) ⎠ dt
�
= lim
n→∞
[−π,π) d
= �
�
μ({y})
y∈Z d
n→∞
|y|≤n
�
−i〈t,x〉
e
[−π,π) d
|y|≤n
e i〈t,y−x〉 dt.
e i〈t,y〉 μ({y}) dt
Die Behauptung folgt, weil für y ∈ Zd gilt
�
[−π,π) d
e i〈t,y−x〉 �
d (2π) ,
dt =
0,
falls x = y,
sonst. ✷
Ähnliche Inversionsformeln gelten für Maße μ auf Rd . Besonders einfach ist der
Fall, wo μ eine integrierbare Dichte f := dμ
dλ bezüglich des d-dimensionalen
Lebesgue-Maßes λ hat. In diesem Fall gilt die Fourier-Inversionsformel
f(x) =(2π) −d
�
e −i〈t,x〉 ϕμ(t) λ(dt). (15.2)
R d
Es gilt die Plancherel’sche Gleichung: Es ist genau dann f ∈L 2 (λ), wennϕμ ∈
L 2 (λ). In diesem Fall ist �f�2 = �ϕ�2.
Da wir diese Aussagen jedoch nicht weiter verwenden werden, verweisen wir lediglich
auf die einschlägigen Lehrbücher (etwa [156, Kapitel V.2] oder [53, Theorem
XV.3.3 und Gleichung (XV.3.8)]).