Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

26 Stochastische Differentialgleichungen
Stochastische Differentialgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung von
gewissen stetigen Markovprozessen mit Werten in Rn . Im Gegensatz zu klassischen
Differentialgleichungen ist nicht nur die Ableitung einer Funktion angegeben, sondern
zudem ein Term, der zufällige Fluktuationen beschreibt, die als Itô-Integral
bezüglich einer Brown’schen Bewegung kodiert werden. Je nach dem, ob man die
konkrete Brown’sche Bewegung als treibende Kraft des Rauschens ernst nimmt oder
nicht, spricht man von starken oder schwachen Lösungen. Wir entwickeln im ersten
Abschnitt die Theorie der starken Lösungen unter Lipschitz-Bedingungen an die
Koeffizienten. Im zweiten Abschnitt lernen wir das (lokale) Martingalproblem als
Methode zur Etablierung schwacher Lösungen kennen. Im dritten Abschnitt stellen
wir die Methode der Dualität zur Sicherung der Eindeutigkeit von Lösungen an
Beispielen vor.
Da die Theorie der stochastischen Differentialgleichungen ein sehr weites Feld ist
und die Dinge sehr schnell sehr technisch werden, bringen wir nur kursorisch ein
paar der wichtigsten Ergebnisse, zum Teil ohne Beweis, um sie dann an Beispielen
zu illustrieren.
26.1 Starke Lösungen
Wir betrachten eine stochastische Differentialgleichung (SDGL) von dem Typ
X0 = ξ,
dXt = σ(t, Xt) dWt + b(t, Xt) dt.
(26.1)
Dabei ist W = (W1 ,...,Wm ) eine m-dimensionale Brown’sche Bewegung, ξ
eine von W unabhängige Rn � -wertige Zufallsvariable mit Verteilung μ, σ(t, x) =
σij(t, x) � i=1,...,n eine reelle n × m Matrix sowie b(t, x) =
j=1,...,m
� bi(t, x) �
i=1,...,n ein
n-dimensionaler Vektor. Die Abbildungen (t, x) ↦→ σij(t, x) und (t, x) ↦→ bi(t, x)
seien messbar.
Unter einer Lösung X von (26.1) wollen wir natürlich einen stetigen, adaptierten
stochastischen Prozess X mit Werten in R n verstehen, der die folgende Integralgleichung
erfüllt