Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

1.4 Messbare Abbildungen 33
Beispiel 1.75 (Gleichverteilung). Ist A ∈B(Rn ) mit n-dimensionalem Lebesgue-
Maß λn (A) ∈ (0, ∞), so wird durch
μ(B) := λn (B)
λn für B ∈B(R
(A)
n ),B⊂ A,
ein W-Maß auf B(Rn ) � � definiert. Wir nennen μ die uniforme Verteilung oder
A
Gleichverteilung auf A und schreiben UA := μ. ✸
Übung 1.3.1. Man zeige die folgende Verallgemeinerung von Beispiel 1.58(iv): Ein
Maß �∞ αnδxn n=1 ist genau dann ein Lebesgue-Stieltjes Maß zu einer geeigneten
Funktion F ,wenn �
n: |xn|≤K αn < ∞ für jedes K>0 gilt. ♣
Übung 1.3.2. Sei Ω eine überabzählbare Menge und ω0 ∈ Ω ein beliebiges Element.
Sei A = σ({ω} : ω ∈{ω0}).
(i) Charakterisiere A ähnlich wie in Übung 1.1.4 (Seite 11).
(ii) Zeige, dass (Ω,A,δω0 ) vollständig ist. ♣
Übung 1.3.3. Sei (μn)n∈N eine Folge von endlichen Maßen auf dem Messraum
(Ω,A). Für jedes A ∈Aexistiere der Grenzwert μ(A) := lim
n→∞ μn(A).
Man zeige: μ ist ein Maß auf (Ω,A).
Hinweis: Zu zeigen ist insbesondere die ∅-Stetigkeit von μ. ♣
1.4 Messbare Abbildungen
Eine Zwangshandlung in der Mathematik ist es, Homomorphismen zwischen Objekten
anzugeben, also strukturerhaltende Abbildungen. Für topologische Räume
sind dies die stetigen Abbildungen, für Messräume die messbaren Abbildungen.
Seien im Folgenden stets (Ω,A) und (Ω ′ , A ′ ) Messräume.
Definition 1.76 (Messbare Abbildungen).
(i) Eine Abbildung X : Ω → Ω ′ heißt A – A ′ -messbar (oder kurz: messbar),
falls X −1 (A ′ ):={X −1 (A ′ ):A ′ ∈A ′ }⊂Aist, falls also
X −1 (A ′ ) ∈A für jedes A ′ ∈A ′ .
Ist X messbar, so schreiben wir auch X :(Ω,A) → (Ω ′ , A ′ ).
(ii) Ist Ω ′ = R und A ′ = B(R) die Borel’sche σ-Algebra auf R, soheißtX :
(Ω,A) → (R, B(R)) kurz eine reelle A-messbare Abbildung.