Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz 151
� �
gdν = gf dμ. (7.5)
Wir erhalten so, dass genau dann g ∈L 1 (ν) ist, wenn gf ∈L 1 (μ) gilt, und in
diesem Fall ist (7.5) erfüllt.
Gilt ν = fμ, so ist offenbar ν(A) =0für jedes A ∈Amit μ(A) =0. In gewissem
Sinne komplementär ist die Situation beispielsweise bei der Poissonverteilung μ =
Poiϱ mit Parameter ϱ>0 und ν = N0,1. Hier ist N0 ⊂ R eine ν-Nullmenge mit
μ(R \ N0) =0. Wir sagen, dass ν singulär zu μ ist.
Das Ziel dieses Kapitels ist es, im allgemeinen Fall zu zeigen, dass ein beliebiges
σ-endliches Maß ν auf einem Messraum (Ω,A) zerlegt werden kann in einen Teil,
der singulär zum σ-endlichen Maß μ ist, und einen Teil, der eine Dichte bezüglich
μ hat (Lebesgue’scher Zerlegungssatz, Satz 7.33).
Satz 7.29 (Eindeutigkeit der Dichte). Sei νσ-endlich. Sind f1 und f2 Dichten von
ν bezüglich μ, sogiltf1 = f2 μ-fast überall. Speziell ist die Dichtefunktion dν
dμ
eindeutig bis auf Gleichheit μ-fast überall.
Beweis. Sei En ↑ Ω mit ν(En) < ∞, n ∈ N. SeiAn = En ∩{f1 >f2} für
n ∈ N. Dannistν(An) < ∞, also
�
0=ν(An) − ν(An) = f1 − f2 dμ.
Nach Satz 4.8(i) gilt f2 An = f1 An μ–f.ü., also μ(An) =0und μ({f1 >f2}) =
μ( �
n∈N An) =0. Analog folgt μ({f1 0, soistμ(A) = �
fdλ>0 falls λ(A) > 0,
A
also μ ≈ λ.Istλ({f =0}) > 0,soist(wegenμ({f =0}) =0) λ �≪ μ.