Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

448 21 Die Brown’sche Bewegung
Also ist (X n t ) n∈N eine Cauchy-Folge in L 2 (P) und hat wegen der Vollständigkeit
von L 2 (P) (siehe Satz 7.3) einen L 2 -Grenzwert Xt. Offenbar gilt dann auch für
N ∈ N und 0 ≤ t1,...,tN ≤ 1
lim
n→∞ E
� N�
i=1
� n→∞
k=1
� X n ti − Xti
�
�2 =0.
Speziell gilt also � Xn t1 ,...,Xn tN −→ (Xt1 ,...,XtN ) P-stochastisch.
Offenbar ist � Xn t1 ,...,Xn �
tN Gauß-verteilt und zentriert. Für s, t ∈ [0, 1] gilt
Cov [X n s ,X n ��
n�
� �
t ]=E ξk [0,s],bk
�� �n
� �
ξl [0,t],bl
��
=
=
n�
k,l=1
n�
l=1
E[ξkξl] � �� �
[0,s],bk [0,t],bl
� �� �
[0,s],bk [0,t],bk
k=1
n→∞
−→ � [0,s], [0,t]
� =min(s, t).
Also ist (Xt) t∈[0,1] ein zentrierter, Gauß’scher Prozess mit
Cov[Xs,Xt] =min(s, t). (21.23)
Bis auf die Stetigkeit der Pfade ist X also eine Brown’sche Bewegung. Eine stetige
Version von X liefert jetzt der Satz von Kolmogorov-Chentsov (Satz 21.6). Wir
können X aber auch direkt als stetigen Prozess konstruieren, indem wir die ONB
(bn)n∈N geschickt wählen, beispielsweise die Haar-Funktionen bn,k: Seib0,1 ≡ 1
und für n ∈ N und k =1,...,2 n sei
⎧
2
⎪⎨
bn,k(t) =
⎪⎩
n/2 2k − 2 − 1
, falls ≤ t