Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

224 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
Bemerkung 12.8. Schreiben wir Ξn(ω) :=ξn(X(ω)) = 1 �n n i=1 δXi(ω) für die
n-te empirische Verteilung, so ist nach Übung 12.1.1 En = σ(Ξn). ✸
Bemerkung 12.9. Bezeichnen wir mit T = �
n∈N σ(Xn+1,Xn+2,...) die terminale
σ-Algebra, so ist T ⊂ E, wobei im Falle #E ≥ 2 strikte Inklusion gilt.
In der Tat: Offenbar ist σ(Xn+1,Xn+2,...) ⊂En für n ∈ N, alsoT ⊂ E. Sei nun
#E ≥ 2.Wähle ein messbares B ⊂ E mit B �= ∅ und B c �= ∅. Die Zufallsvariable
S := � ∞
n=1 B(Xn) ist messbar bezüglich E, nicht aber bezüglich T . ✸
Satz 12.10. Sei X = (Xn)n∈N austauschbar. Ist ϕ : E k → R messbar und
E[|ϕ(X)|] < ∞, dann gilt für jedes n ≥ k und jedes ϱ ∈ S(n)
Speziell ist
E[ϕ(X)|En] =E[ϕ(X ϱ )|En]. (12.2)
E[ϕ(X) � � En] =An(ϕ) := 1
n!
�
ϱ∈S(n)
ϕ(X ϱ ). (12.3)
Beweis. Sei A ∈En und F = X(A). DannistF ◦ X = A. Nach der Definition
von En ist also F : E N → R messbar, n-symmetrisch und beschränkt. Daher ist
E � ϕ(X)F (X) � = E � ϕ(X ϱ )F (X ϱ ) � = E � ϕ(X ϱ )F (X) � ,
wobei wir in der ersten Gleichung die Austauschbarkeit von X benutzt haben, in der
zweiten hingegen die Symmetrie von F . Hieraus folgt (12.2). Nun ist aber An(ϕ)
schon En-messbar, also ist
⎡
⎤
E � ϕ(X) � �
�En = E ⎣ 1
n!
�
ϱ∈S(n)
ϕ(X ϱ �
�
) �
� En
Heuristik zur Struktur austauschbarer Familien
⎦ = 1
n!
�
ϱ∈S(n)
ϕ(X ϱ ). ✷
Wir betrachten eine endliche, austauschbare Familie X1,...,XN von E-wertigen
Zufallsvariablen. Wie sieht für n ≤ N die bedingte Verteilung von (X1,...,Xn)
gegeben ΞN aus? Für jedes messbare A ⊂ E kommt {Xi ∈ A} für genau NΞN(A)
viele i ∈{1,...,N} vor, wobei die Reihenfolge des Auftretens keinen Einfluss auf
die Wahrscheinlichkeit hat. Wir sind also in der Situation des Ziehens von gefärbten
Kugeln ohne Zurücklegen. Genauer gesagt können wir annehmen, dass die paarweise
unterschiedlichen e1,...,ek ∈ E die Atome von ΞN mit Häufigkeiten
N1,...,Nk sind, dass also ΞN = �k i=1 =(Ni/N )δei gilt. Wir haben es also mit
Kugeln in k Farben zu tun, wobei von der i-ten Farbe genau Ni Kugeln vorhanden
sind. Wir ziehen n dieser Kugeln ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge.
Bis auf die Beachtung der Reihenfolge ist die resultierende Verteilung also