Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

506 23 Große Abweichungen
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
–0.002
m
–0.004
–0.006
–0.008
beta=0.9
beta=1.0
beta=1.1
Abb. 23.1. Die verschobene freie Energie F β (m) − F β (0) des Weiss’schen Ferromagneten
ohne äußeres Feld (h =0).
Ratenfunktion I(x) =H(x|λ), woH(x|λ) die relative Entropie von x bezüglich λ
ist. Nach (23.14) ist H(x|λ) = log(#Σ) − H(x), woH(x) die Entropie von x ist.
Wir definieren die freie Energie (oder das Helmholtz-Potential) pro Teilchen als
F β (x) :=U(x) − β −1 H(x).
Der Satz über das gekippte LDP liefert nun, dass die Folge der Boltzmann-Verteilungen
(μ β n)n∈N ein LDP erfüllt mit Rate n und Ratenfunktion
I β (x) =F β (x) − inf
y∈M1(Σ) F β (y).
Für großes n ist die Boltzmann Verteilung auf diejenigen x konzentriert, die die freie
Energie minimieren. Dies können für unterschiedliche Temperaturen (also Werte
von β) sehr unterschiedliche Zustände sein. Daher treten bei kritischen Temperaturen
Phasenübergänge auf, und chemische Reaktionen laufen bei unterschiedlichen
Temperaturen in unterschiedlichen Richtungen ab.
Beispiel 23.20. Wir betrachten den Weiss’schen Ferromagneten. Dies ist ein mikroskopisches
Modell für Magnetismus, das davon ausgeht, dass jedes von n ma-
gnetischen Teilchen eine von den zwei Ausrichtungen σi ∈ Σ = {−1, +1} hat.
Die mittlere Magnetisierung m = 1 �n i=1 σi beschreibt den Zustand des Systems
n
vollständig (da die Teilchen ununterscheidbar sind) und ist die relevante makroskopische
Messgröße. Die Grundidee ist, dass es energetisch günstiger ist, wenn Teilchen
magnetisch parallel ausgerichtet sind, als wenn sie antiparallel ausgerichtet