Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

348 17 Markovketten
Das Ereignis B von oben können wir schreiben als
B = � Zn+1 Zn für alle n ∈ N0 das Ereignis, dass Z auf direktem Weg
nach ∞ flieht und τz =inf{n ∈ N0 : Zn ≥ z}. Offenbar ist
Pz[A] =
∞�
z ′ =z
p(z ′ ,z ′ +1)≥ 1 −
∞�
z ′ =z
1
1+2 z′ ≥ 1 − 2 1−z .
Man kann leicht zeigen, dass P0[τz < ∞] =1ist für jedes z ∈ N0. Wir erhalten
für jedes z ∈ N0 mit der starken Markoveigenschaft
P0[B] ≥ P0[Zn+1 >Zn für alle n ≥ τz] =Pz[A] ≥ 1 − 2 1−z
und damit P0[B] =1. Damit ist nachgewiesen, dass fast sicher irgendwann nur
noch Kugeln einer Farbe gezogen werden.
Wir wollen nun von diesem extremen Beispiel weg und mit (noch) subtileren Methoden,
die an das obige Beispiel mit der Explosion des Markovprozesses anknüpfen,
arbeiten.
Wir wollen nun zeigen, dass P[B] =1, falls �∞ n=0 1 < ∞. Hierzu betrach-
wn
ten wir unabhängige Zufallsvariablen T s 1 ,T r 1 ,T s 2 ,T r 2 ,... mit PT r n = PT s n =
expwn−1 . Ferner sei T r ∞ = �∞ n=1 T r n und T s ∞ = �∞ n=1 T s n. Offenbar ist E[T r ∞]=
�∞ n=0 1/wn < ∞, also ist insbesondere P[T r ∞ < ∞] =1. Die analoge Aussage
gilt für T s ∞. Man beachte, dass T r ∞ und T s ∞ unabhängig sind und Dichten haben
(weil T r 1 und T s 1 Dichten haben), also gilt P[T r ∞ = T s ∞]=0.
Seien nun
Rt =sup � n ∈ N : T r 1 + ...+ T r n−1 ≤ t �
und
St =sup � n ∈ N : T s 1 + ...+ T s n−1 ≤ t � .
Seien R := {T r 1 + ... + T r n,n ∈ N} und S := {T s 1 + ... + T s n,n ∈ N} die
Sprungzeitpunkte von (Rt) und (St), sowieU := R ∪ S = {u1,u2,...}, wobei
u1