Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

136 6 Konvergenzsätze
Beweis. Das folgt aus Satz 6.25, weil die Majorante die gleichgradige Integrierbarkeit
der Folge (fn)n∈N sichert. ✷
Übung 6.2.1. Sei H ∈L 1 (μ) mit H>0 μ-f.ü. (siehe Lemma 6.23) und (E,d) ein
separabler metrischer Raum. Man zeige:
(i) Durch
�
�1 �
dH(f,g) := ∧ d(f(ω),g(ω)) H(ω) μ(dω)
wird eine Metrik definiert, die die stochastische Konvergenz erzeugt.
(ii) Ist (E,d) vollständig, so ist dH vollständig. ♣
6.3 Vertauschung von Integral und Ableitung
Wir wollen untersuchen, wie sich Eigenschaften wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit
von Zweiparameterfunktionen unter Integration nach einer Variablen erhalten.
Satz 6.27 (Stetigkeitslemma). Sei (E,d) ein metrischer Raum, x0 ∈ E und f :
Ω × E → R eine Abbildung mit den Eigenschaften
(i) für jedes x ∈ E ist die Abbildung ω ↦→ f(ω, x) in L1 (μ),
(ii) für fast alle ω ∈ Ω ist die Abbildung x ↦→ f(ω, x) stetig im Punkte x0,
(iii) die Abbildung h : ω ↦→ supx∈E |f(ω, x)| ist in L1 (μ).
�
Dann ist die Abbildung F : E → R, x ↦→ f(ω, x) μ(dω) stetig in x0.
Beweis. Sei (xn)n∈N eine Folge in E mit lim
n→∞ xn = x0. Setze fn = f( · ,xn).
n→∞
Nach Voraussetzung ist |fn| ≤h und fn −→ f( · ,x0) fast überall. Nach dem
Satz von der majorisierten Konvergenz (Korollar 6.26) ist
�
F (xn) = fn dμ n→∞
�
−→ f( · ,x0) dμ = F (x0).
Also ist F stetig in x0. ✷