Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.4 Beispiel: Perkolation 67
Die Grundfrage lautet: Wie groß sind θ(p) und ψ(p) in Abhängigkeit von p?
Wir machen die folgende, intuitiv leicht einsehbare Beobachtung.
Satz 2.42. Die Abbildung [0, 1] → [0, 1], p ↦→ θ(p) ist monoton wachsend.
Beweis. Obwohl die Aussage offensichtlich erscheint, wollen wir einen formalen
Beweis geben, weil er ein wichtiges Beweisprinzip, das der Kopplung, verwendet.
Seien p, p ′ ∈ [0, 1] mit p 0.
Beweis. Ist θ(p) =0, so ist nach (2.12)
ψ(p) ≤ �
P[#C p (y) =∞] = �
θ(p) =0.
y∈Z d
y∈Z d
Sei nun A = �
y∈Zd{#Cp (y) = ∞}. Offenbar ändert es nichts am Eintreten
von A, wenn endlich viele Kanten ihren Zustand verändern. Das heißt A ∈
σ((X p
k ) k∈K\Kn
) für jedes n ∈ N. Nach Satz 2.35 ist A also in der terminalen σ-
Algebra T ((X p
k )k∈K). Nach dem Kolmogorov’schen 0-1 Gesetz (Satz 2.37) gilt
also ψ(p) =P[A] ∈{0, 1}. Ist nun θ(p) > 0, so folgt wegen ψ(p) ≥ θ(p) schon
ψ(p) =1. ✷