Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral 95
Bemerkung 4.25. Eine uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion f auf einem
halboffenen Intervall I =(a, b] oder I =[0, ∞) ist nicht notwendigerweise auch
Lebesgue-integrierbar. Hier wird nämlich das uneigentliche Integral � ∞
f(x) dx :=
� 0
n
limn→∞ f(x) dx durch eine Grenzwertprozedur definiert, die Rücksicht auf die
0
Geometrie von R nimmt. Dies tut das Lebesgue-Integral nicht. So ist die Funktion
f :[0, ∞) → R, x ↦→ 1
1+x sin(x) (uneigentlich) Riemann-integrierbar, jedoch nicht
Lebesgue-integrierbar, weil �
|f| dλ = ∞ ist. ✸
[0,∞)
Wir haben schon gesehen, dass uneigentlich Riemann-integrierbare Funktionen
nicht notwendigerweise auch Lebesgue-integrierbar sind. Andererseits gibt es Lebesgue-integrierbare
Funktionen, die nicht Riemann-integrierbar sind (wie etwa
Q). Geometrisch lässt sich dies so interpretieren, dass das Riemann-Integral die
Geometrie des Integrationsbereiches respektiert, indem es als Grenzwert von Flächen
schmaler senkrechter Streifen entsteht, während das Lebesgue-Integral als Grenzwert
mit flachen waagerechten Streifen gedacht werden kann. Insbesondere macht
dieses Integral gar keine Annahmen an den Definitionsbereich des Integranden, weshalb
es eben universeller einsetzbar ist. Um dies zu unterstreichen, bringen wir einen
Satz, der uns auch ansonsten noch nützlich sein wird.
Satz 4.26. Sei f : Ω → R messbar und f ≥ 0 fast überall. Dann gelten
∞�
μ({f ≥ n}) ≤
�
fdμ ≤
∞�
μ({f >n}) (4.7)
n=1
und �
fdμ =
� ∞
0
n=0
μ({f ≥ t}) dt. (4.8)
Beweis. Setze f ′ = ⌊f⌋ und f ′′ = ⌈f⌉. Dannistf ′ ≤ f ≤ f ′′ und deshalb
� f ′ dμ ≤ � fdμ≤ � f ′′ dμ. Nun ist
�
Analog ist
f ′ dμ =
�
∞�
μ({f ′ = k}) · k =
k=1
f ′′ dμ =
=
=
∞�
k=1 n=1
∞�
n=1 k=n
k�
μ({f ′ = k})
∞�
μ({f ′ = k})
∞�
μ({f ′ ≥ n}) =
n=1
∞�
μ({f ′′ ≥ n}) =
n=1
∞�
μ({f ≥ n}).
n=1
∞�
μ({f >n−1}). n=1