Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451
Übung 21.5.3. Sei d ∈ N. Man zeige mit Hilfe einer geeigneten Orthonormalbasis
auf [0, 1] d :
(i) Es gibt einen Gauß’schen Prozess (Wt) t∈[0,1] d mit Kovarianzfunktion
Cov[Wt,Ws] =
d�
i=1
� �
ti ∧ si .
(ii) Es existiert eine Modifikation von W , sodass t ↦→ W fast sicher stetig ist (siehe
Bemerkung 21.7).
Ein Prozess W mit den Eigenschaften (i) und (ii) heißt Brown’sches Blatt. ♣
21.6 Der Raum C([0, ∞))
Sind Funktionale, die vom ganzen Pfad der Brown’schen Bewegung abhängen,
messbar? Ist beispielsweise sup{Xt, t∈ [0, 1])} messbar? Für allgemeine stochastische
Prozesse ist dies sicherlich falsch, weil das Supremum von mehr als abzählbar
vielen Koordinaten abhängt. Für Prozesse mit stetigen Pfaden ist dies jedoch richtig,
wie wir in diesem Abschnitt in allgemeinem Rahmen zeigen werden.
Es liegt nahe, dass man die Brown’sche Bewegung als kanonischen Prozess auf dem
Raum Ω := C([0, ∞)) der stetigen Pfade begreift.
Wir sammeln zunächst ein paar Eigenschaften von Ω = C([0, ∞)) ⊂ R [0,∞) .Wir
definieren die Auswertungsabbildung
Xt : Ω → R, ω ↦→ ω(t), (21.26)
also die Einschränkung der kanonischen Projektion R [0,∞) → R auf Ω.
Für f,g ∈ C � [0, ∞) � �
�
und n ∈ N sei dn(f,g) := �(f − g) � �
�
� ∧ 1 und
[0,n]
d(f,g) =
� ∞
∞�
2 −n dn(f,g). (21.27)
n=1
Satz 21.30. d ist eine vollständige Metrik auf Ω := C � [0, ∞) � , die die Topologie
der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen erzeugt. Der Raum (Ω,d)
ist separabel, also polnisch.
Beweis. Offenbar ist jedes dn eine vollständige Metrik auf (C([0,n]), � · �∞)).Zu
jeder Cauchy-Folge (fN ) in (Ω,d) und jedem n ∈ N existiert daher ein gn ∈ Ω
mit dn(fN ,gn) N→∞
−→ 0. Offenbar ist gn(x) =gm(x) für jedes x ≤ m ∧ n, also