Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

564 26 Stochastische Differentialgleichungen
Beweis. Wir zeigen die Aussage nur für den Fall m = n =1. Der allgemeine Fall
erfordert ein paar Betrachtungen über Wurzeln von nichtnegativ semidefiniten symmetrischen
Matrizen, die jedoch für die Stochastik keine tiefere Einsicht bringen.
Wir verweisen hier lediglich auf [86, Proposition 5.4.6].
” ⇐= “ Ist (X, W) eine schwache Lösung, dann löst X nach Korollar 25.19 das
lokale Martingalproblem.
” =⇒ “ Sei X eine Lösung von LMP(σ2 ,b,μ). Nach Satz 25.29 existiert auf einer
Erweiterung des Wahrscheinlichkeitsraums eine Brown’sche Bewegung ˜ �
W , sodass
�σ(s, Xs) � � d ˜ Ws gilt. Setzen wir
Mt = � t
0
� t
Wt :=
0
sign(σ(s, Xs)) d ˜ Ws,
so ist Mt = � t
0 σ(s, Xs) dWs, also (X, W) eine schwache Lösung von (26.15). ✷
Ein lokales Martingalproblem ist in gewissem Sinne eine sehr natürliche Art und
Weise, um eine stochastische Differentialgleichung zu schreiben, nämlich als:
X hat lokal die Ableitung (Drift) b und zusätzlich zufällige normalverteilte
Fluktuationen von der Größenordnung σ.
Eine konkrete Brown’sche Bewegung taucht hier gar nicht mehr auf, und bei den
meisten Problemen ist ihr Auftreten auch eher artifiziell. Genau wie man bei der
Beschreibung von Markovketten meist nur die Übergangswahrscheinlichkeiten angibt,
nicht aber die konkrete Realisierung, wie dies etwa in Satz 17.17 beschrieben
wird, möchte man bei vielen stetigen (Zeit und Ort) Prozessen nur die Größe der
Fluktuationen angeben, nicht aber eine konkrete Realisierung.
Technisch gesehen ist die Formulierung von stochastischen Differentialgleichungen
als lokale Martingalprobleme sehr bequem, weil sie Zugang zu einer Reihe von
Techniken schafft wie Martingalungleichungen und Approximationssätze für Martingale,
mit denen sich Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen etablieren lässt.
Wir zitieren hier nur zwei wichtige Ergebnisse.
Satz 26.22 (Existenz von Lösungen). Es seien (t, x) ↦→ b(t, x) und (t, x) ↦→
a(t, x) stetig und beschränkt. Dann existiert für jedes μ ∈M1(R n ) eine Lösung
X des LMP(a, b, μ).
Beweis. Siehe [140, Theorem V.23.5]. ✷
Definition 26.23. Wir sagen, dass das LMP(a, b) gut gestellt ist, wenn es für jedes
x ∈ R n eine eindeutige Lösung X von LMP(a, b, δx) gibt.
Bemerkung 26.24. Erfüllen σ und b die Lipschitzbedingungen wie in Satz 26.8, so
ist das LMP(σσ T ,b) gut gestellt. Dies folgt aus Satz 26.8 und Satz 26.18. ✸