Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.1 Wiederholung Topologie 239
Übung 13.1.4. Sei U eine Familie offener Intervalle in R so, dass W := �
U∈U U
endliches Lebesgue-Maß λ(W ) hat. Man zeige: Für jedes ε>0 gibt es endlich
viele, paarweise disjunkte Mengen U1,...,Un ∈Umit
n�
λ(Ui) >
i=1
1 − ε
3
λ(W ).
Hinweis: Man wähle eine endliche Familie U ′ ⊂ U, sodass �
U∈U
mindestens (1 − ε)λ(W ) hat. Hieraus wähle man eine nach absteigender Länge
sortierte maximale Folge U ′′ disjunkter Intervalle aus und zeige, dass jedes U ∈U ′
in (x − 3a, x +3a) liegt für ein (x − a, x + a) ∈U ′′ . ♣
′ U das Maß
Übung 13.1.5. Sei C ⊂ Rd eine offene, beschränkte und konvexe Menge und
U ⊂ {x + rC : x ∈ Rd ,r > 0} so gewählt, dass W := �
U∈U U endliches
Lebesgue-Maß λd (W ) hat. Man zeige: Für jedes ε>0 gibt es endlich viele, paarweise
disjunkte Mengen U1,...,Un ∈Umit
n�
λ d 1 − ε
(Ui) > λ(W ).
3d i=1
Man überlege sich ein Gegenbeispiel, das zeigt, dass man auf die Bedingung der
Ähnlichkeit der offenen Mengen aus U nicht ohne Weiteres verzichten kann. ♣
Übung 13.1.6. Sei μ ein Radon-Maß auf R d und A ∈B(R d ) eine μ-Nullmenge.
Man zeige mit Hilfe von Übung 13.1.5, dass für jede beschränkte, konvexe und
offene Menge C ⊂ R d mit 0 ∈ C gilt:
μ(x + rC)
lim
r↓0 rd =0 für λ d – fast alle x ∈ A.
Man folgere: Ist F die Verteilungsfunktion eines Stieltjes-Maßes μ auf R und A ∈
F (x) =0für λ – fast alle x ∈ A. ♣
B(R) eine μ-Nullmenge, so gilt d
dx
Übung 13.1.7 (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Sei f ∈
L 1 (R d ), μ = fλ d und C ⊂ R d offen, konvex und beschränkt mit 0 ∈ C. Man
zeige:
μ(x + rC)
lim
r↓0 rd λd (C) = f(x) für λd – fast alle x ∈ R d .
Man folgere für den Fall d =1den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
�
d
fdλ= f(x)
dx [0,x]
für λ – fast alle x ∈ R.
Hinweis: Verwende Übung 13.1.6 mit μq(dx) =(f(x) − q) + λd (dx) für q ∈ Q,
sowie die Ungleichung
μ(x + rC)
. ♣
rd λd (C) ≤ q + μq(x + rC)
rd λd (C)