Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

384 18 Konvergenz von Markovketten
für eine Konstante C (die nicht einmal von μ abhängt). Eine ähnliche Formel gilt
für den Fall, wo p nicht reversibel ist, wobei Korrekturterme der Ordnung maximal
n V −1 auftreten. Dabei ist V die Größe des größten Jordan-Kästchens zum Eigenwert
λ2 in der Jordan’schen Normalform von p, speziell also höchstens die Vielfachheit
des betragsmäßig zweitgrößten Eigenwertes.
Die Konvergenzgeschwindkeit ist also exponentiell mit einer Rate, die durch die
Spektrallücke 1 −|λ2| zum zweitgrößten Eigenwert von p bestimmt ist. Die analytische
Bestimmung der Spektrallücke ist für große Räume E häufig extrem schwer.
Beispiel 18.24. Sei r ∈ (0, 1) und N ∈ N, N ≥ 2,sowieE = {0,...,N− 1}.Wir
betrachten die Übergangsmatrix
⎧
⎨ r, falls j = i +1(modN),
p(i, j) = 1 − r,
⎩
0,
falls j = i − 1(modN),
sonst.
p ist die Übergangsmatrix der einfachen (asymmetrischen) Irrfahrt auf dem diskreten
Torus Z/(N), die mit Wahrscheinlichkeit r einen Schritt nach rechts springt, mit
Wahrscheinlichkeit 1 − r hingegen einen Schritt nach links springt. Offenbar ist p
irreduzibel, und p ist genau dann aperiodisch, wenn N ungerade ist. Offensichtlich
ist die Gleichverteilung UE die eindeutige invariante Verteilung.
Fall 1: N ungerade. Man prüft leicht nach, dass p die Eigenwerte
λk := rθk +(1− r) θk =cos � 2πk
N
� +(2r − 1) i sin � 2πk
N
� , k =0,...,N − 1,
hat, wobei θk = e2πi k/N , k =0,...,N − 1, dieN-ten Einheitswurzeln sind, und
die zugehörigen (Rechts-) Eigenvektoren
x k := � θ 0 k,θ 1 k,...,θ N−1�
k .
Die Beträge der Eigenwerte bekommen wir durch |λk| = f(2πk/N), wobei
f(ϑ) = � 1 − 4r(1 − r)sin(ϑ) 2 für ϑ ∈ R.
Da N ungerade ist, ist |λk| maximal (außer für k =0)für k = N−1
2 und k = N+1
2
mit dem Wert γ := � 1 − 4r(1 − r)sin(π/N) 2 . Da die Eigenwerte alle unterschiedlich
sind, hat jeder Eigenwert die Vielfachheit 1, und es gibt ein C < ∞
mit
für alle n ∈ N, μ∈M1(E).
�μp n −UE�TV ≤ Cγ n
Fall 2: N gerade. In diesem Fall ist p nicht aperiodisch, nichtsdestoweniger haben
die Eigenwerte und Eigenvektoren die selbe Gestalt wie im ersten Fall. Um eine
aperiodische Kette zu erhalten, bilden wir für ε>0 die Übergangsmatrix
pε := (1 − ε)p + εI,