Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz 351
r r
0 1 2 3
1�r 1�r
1�r 1�r
Abb. 17.2. Markovkette auf N0 mit Parameter r ∈ (0, 1). Die Kette ist positiv rekurrent,
wenn r ∈ (0, 1/2), nullrekurrent, wenn r =1/2 und transient für r ∈ (1/2, 1).
(ii) In Abb. 17.2 hat die Kette eine Tendenz, nach rechts auszuwandern, falls r> 1
2
ist. Daher ist in diesem Fall jeder Zustand transient. Ist hingegen r ∈ (0, 1
2 ),
so hat die Kette einen Drall nach links (außer in 0) und besucht daher jeden
Zustand immer wieder, ist also rekurrent. Mit etwas mehr Nachdenken kann
man zeigen (siehe Übung 17.6.4), dass die Kette in diesem Fall sogar positiv
rekurrent ist und im verbleibenden Fall r = 1
2 nullrekurrent ✸
Definition 17.33. Mit N(y) = �∞ n=0 {Xn=y} bezeichnen wir die Gesamtzahl der
Besuche von X in y und mit
∞�
G(x, y) =Ex[N(y)] = p n (x, y)
die Greenfunktion von X.
Satz 17.34. (i) Für alle x, y ∈ E gilt (mit 1/0 :=∞)
� F (x,y)
1−F (y,y) ,
G(x, y) =
1
1−F (y,y) ,
�
falls x �= y
= F (x, y) G(y, y)+
falls x = y
{x=y}. (17.17)
n=0
(ii) Ein Punkt x ∈ E ist genau dann rekurrent, wenn G(x, x) =∞.
Beweis. (ii) folgt aus (i). Wir müssen also noch (17.17) zeigen. Nach Satz 17.29 ist
∞�
G(x, y) =Ex[N(y)] = Px[N(y) ≥ k]
= {x=y} +
=
∞�
k=1
k=1
� F (x,y)
1−F (y,y) , falls x �= y,
1
1−F (x,x) , falls x = y.
� k
Px τy < ∞ � = {x=y} +
∞�
F (x, y) F (y, y) k−1
Die zweite Gleichheit in (17.17) folgt hieraus direkt. ✷
k=1
r