Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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Lemma 9.18. Seien σ und τ Stoppzeiten. Dann gilt: (i) σ ∨ τ und σ ∧ τ sind Stoppzeiten. (ii) Gilt σ, τ ≥ 0, dann ist auch σ + τ eine Stoppzeit. 9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten 187 (iii) Ist s ≥ 0, dann ist τ + s eine Stoppzeit, jedoch im Allgemeinen nicht τ − s. Bevor wir zum einfachen formalen Beweis kommen, wollen wir festhalten, dass insbesondere (i) und (iii) Eigenschaften sind, die wir von Stoppzeiten erwarten konnten: Bei (i) ist die Interpretation klar. Für (iii) beachte man, dass τ − s um s in die Zukunft blickt (denn {τ −s ≤ t} ∈Ft+s), während τ +s um s in die Vergangenheit schaut. Stoppzeiten ist aber nur der Blick in die Vergangenheit erlaubt. Beweis. (i) Für t ∈ I ist {σ ∨ τ ≤ t} = {σ ≤ t}∩{τ ≤ t} ∈Ft und {σ ∧ τ ≤ t} = {σ ≤ t}∪{τ ≤ t} ∈Ft. (ii) Sei t ∈ I. Nach (i) sind τ ∧ t und σ ∧ t Stoppzeiten für jedes t ∈ I. Speziell ist für jedes s ≤ t dann {τ ∧ t ≤ s} ∈Fs ⊂Ft. Andererseits ist für s>tstets τ ∧ t ≤ s. Alsosindτ ′ := (τ ∧ t)+ {τ>t} und σ ′ := (σ ∧ t)+ {σ>t} messbar bezüglich Ft und damit auch τ ′ + σ ′ . Es folgt {τ + σ ≤ t} = {τ ′ + σ ′ ≤ t} ∈Ft. (iii) Für τ + s folgt dies aus (ii) (mit der Stoppzeit σ ≡ s). Für τ − s beachte man, dass in der Definition der Stoppzeit für jedes t ∈ I lediglich gefordert wird, dass {τ − s ≤ t} = {τ ≤ t + s} ∈Ft+s. Im Allgemeinen ist aber Ft+s eine echte Obermenge von Ft, also τ − s keine Stoppzeit. ✷ Definition 9.19. Ist τ eine Stoppzeit, so heißt Fτ := � A ∈F: A ∩{τ ≤ t} ∈Ft für jedes t ∈ I � die σ-Algebra der τ-Vergangenheit. Beispiel 9.20. Sei I höchstens abzählbar, X ein adaptierter, reellwertiger stochastischer Prozess, K ∈ R und τ = inf{t : Xt ≥ K} die Stoppzeit des ersten Eintretens in [K, ∞). Betrachte die Ereignisse A = {sup{Xt : t ∈ I} >K− 5} und B = {sup{Xt : t ∈ I} >K+5}. Für jedes t ∈ I ist {τ ≤ t} ⊂A, also ist A ∩{τ ≤ t} = {τ ≤ t} ∈Ft. Es folgt A ∈Fτ . Jedoch ist im Allgemeinen B/∈Fτ , denn wir können bis zur Zeit τ eben nicht entscheiden, ob X auch die Hürde K +5noch nehmen wird oder nicht. ✸ Lemma 9.21. Sind σ und τ Stoppzeiten mit σ ≤ τ, so gilt Fσ ⊂Fτ . Beweis. Sei A ∈Fσ und t ∈ I. DannistA∩{σ ≤ t} ∈Ft. Daτ eine Stoppzeit ist, ist auch {τ ≤ t} ∈Ft.Wegenσ≤τ ist also A ∩{τ ≤ t} = � A ∩{σ ≤ t} � ∩{τ ≤ t} ∈ Ft. ✷
188 9 Martingale Definition 9.22. Ist τs. Bemerkung 9.25. Offenbar ist für Martingale t ↦→ E[Xt] konstant, für Submartingale monoton wachsend und für Supermartingale monoton fallend. ✸ Bemerkung 9.26. Die Etymologie des Begriffs Martingal ist nicht völlig geklärt. Das französische la martingale (ursprünglich provenzalisch martegalo nach der
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
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20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
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28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
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32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
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36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
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38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
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40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
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44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
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48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
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50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
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52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
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54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
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56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
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58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
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60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
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62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
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64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
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66 2 Unabhängigkeit � � �
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68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
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70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
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72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
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74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
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76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
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78 3 Erzeugendenfunktion � � α
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80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
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82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
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84 4 Das Integral m� m� n� α
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86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
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88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
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90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
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92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
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94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
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96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
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98 5 Momente und Gesetze der Große
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100 5 Momente und Gesetze der Groß
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6 Konvergenzsätze Im starken und s
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
Seite 141 und 142:
6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
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6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
Seite 145 und 146: Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
Seite 147 und 148: 6.3 Vertauschung von Integral und A
Seite 149 und 150: 7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
Seite 151 und 152: 7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
Seite 157 und 158: 7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
Seite 159 und 160: 7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
Seite 161 und 162: 7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
Seite 163 und 164: 7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
Seite 165 und 166: 7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
Seite 171 und 172: V ′ := {F : V → R ist stetig un
Seite 173 und 174: 7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
Seite 175 und 176: 166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
Seite 177 und 178: 168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
Seite 179 und 180: 170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
Seite 181 und 182: 172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
Seite 183 und 184: 174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
Seite 185 und 186: 176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
Seite 187 und 188: 178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
Seite 189 und 190: 180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
Seite 191 und 192: 182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
Seite 193 und 194: 184 9 Martingale E = Z (mit der dis
Seite 195: 186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
Seite 199 und 200: 190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
Seite 201 und 202: 192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
Seite 203 und 204: 194 9 Martingale vorhersagbar und l
Seite 205 und 206: 196 9 Martingale Wir wollen nun X a
Seite 207 und 208: 10 Optional Sampling Sätze Wir hab
Seite 209 und 210: 10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
Seite 211 und 212: 10.2 Optional Sampling und Optional
Seite 213 und 214: 10.2 Optional Sampling und Optional
Seite 215 und 216: 10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit
Seite 217 und 218: 11 Martingalkonvergenzsätze und An
Seite 219 und 220: E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
Seite 221 und 222: und C = � a,b∈Q a
Seite 223 und 224: 11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
Seite 225 und 226: 11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
Seite 227 und 228: 11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
Seite 229 und 230: 12 Rückwärtsmartingale und Austau
Seite 231 und 232: 12.1 Austauschbare Familien von Zuf
Seite 233 und 234: 12.1 Austauschbare Familien von Zuf
Seite 235 und 236: 1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
Seite 237 und 238: 12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
Seite 239 und 240: 12.3 Satz von de Finetti 231 das he
Seite 241 und 242: 13 Konvergenz von Maßen In der Wah
Seite 243 und 244: 13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
Seite 245 und 246: 13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
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13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
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13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
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Seite 255 und 256:
Seite 257 und 258:
13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
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13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
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13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
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13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
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13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
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14 W-Maße auf Produkträumen Als M
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14.1 Produkträume 261 Definition 1
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14.2 Endliche Produkte und Übergan
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
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15 Charakteristische Funktion und Z
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15.1 Trennende Funktionenklassen 28
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Seite 295 und 296:
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.4 Charakteristische Funktion und
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� � � �ϕ(t + h) − � n
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15.4 Charakteristische Funktion und
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15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
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Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
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15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
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316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
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Seite 337 und 338:
Seite 339 und 340:
17 Markovketten Markovprozesse mit
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 347 und 348:
17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
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Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
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17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
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1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
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17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
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17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
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17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
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18 Konvergenz von Markovketten Wir
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3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
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18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
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Seite 383 und 384:
18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
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Dabei ist die Varianz des einzelnen
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19 Markovketten und elektrische Net
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19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
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19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
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19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
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x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
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19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
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19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
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19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
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Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
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Schritt 1. Die Schleife am rechten
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Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
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Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
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19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
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20 Ergodentheorie Gesetze der groß
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20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
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20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
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Beweis. Setze Yn := � � � n
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 433 und 434:
1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
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21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
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21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
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21.1 Stetige Modifikationen 433 s
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21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
Seite 443 und 444:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 445 und 446:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 447 und 448:
21.3 Starke Markoveigenschaft 441
Seite 449 und 450:
21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
Seite 451 und 452:
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
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21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
Seite 455 und 456:
X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
Seite 457 und 458:
21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
Seite 459 und 460:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 463 und 464:
21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
Seite 465 und 466:
E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
Seite 467 und 468:
und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
Seite 469 und 470:
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
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21.10 Quadratische Variation und lo
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Seite 477 und 478:
Seite 479 und 480:
Seite 481 und 482:
Seite 483 und 484:
22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
Seite 485 und 486:
22.1 Iterierter Logarithmus für di
Seite 487 und 488:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490:
Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
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M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
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490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
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492 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 499 und 500:
494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
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496 23 Große Abweichungen Beweis.
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498 23 Große Abweichungen Übung 2
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500 23 Große Abweichungen Seien nu
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502 23 Große Abweichungen Analog i
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504 23 Große Abweichungen Untere S
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506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
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508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
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Seite 525 und 526:
Seite 527 und 528:
Seite 529 und 530:
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25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
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25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
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Seite 537 und 538:
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 543 und 544:
25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
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25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
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ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
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25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
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25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
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25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
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26 Stochastische Differentialgleich
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26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
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Die linke Seite in (26.6) ist aber
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und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
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1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
Seite 565 und 566:
26.2 Schwache Lösungen und Marting
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
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26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
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Seite 575 und 576:
3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
Seite 577 und 578:
Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
Seite 585 und 586:
Literatur 581 123. Jim Pitman und M
Seite 587 und 588:
Notation A Indikatorfunktion der Me
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μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
Seite 591 und 592:
Glossar englischer Ausdrücke a.a.
Seite 593 und 594:
Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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