Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

382 18 Konvergenz von Markovketten
π(x) p(x, y) =π(x) qi
π(y)
π(x)
= π(y) qi = π(y) p(y, x).
π(x−i) π(y−i)
Der Gibbs-Sampler beschreibt also eine reversible Markovkette mit Gleichgewicht
π. Die Irreduzibilität des Gibbs-Samplers ist von Fall zu Fall zu klären.
Beispiel 18.23 (Ising Modell). Im oben beschriebenen Ising-Modell ist x−i =
{x i,−1 ,x i,+1 }. Daher ist für i ∈ Λ und σ ∈{−1, +1}
π(x i,σ� � x−i) =
π(x i,σ )
π({x i,−1 ,x i,+1 })
e −βH(xi,σ )
=
e−βH(xi,−1 ) + e−βH(xi,+1 )
� �
= 1+expβ
� H(x i,σ ) − H(x i,−σ ) ���−1 � �
= 1+exp2β
�
j: j∼i ( {x(j)�=σ} − 1
2 )
�� −1
Der Gibbs-Sampler des Ising-Modells ist also die Markovkette (Xn)n∈N0 mit Werten
in E = {−1, 1} Λ und mit Übergangsmatrix
⎧ � �
⎨ 1
#Λ 1+exp 2β
p(x, y)=
⎩
�
( {x(j)�=x(i)}−
j: j∼i
1
2 )
��−1 , falls y = xi für ein i ∈ Λ,
0, sonst.
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Perfekte Simulation
Die bislang betrachtete MCMC Methode baut auf dem Prinzip Hoffnung: Wir lassen
die Kette lange laufen und hoffen, dass sie sich in einem Zustand nahe dem
Gleichgewicht befindet. Selbst wenn wir die Konvergenzgeschwindigkeit bestimmen
können (und das ist oft nicht ganz leicht – wir kommen dazu in Abschnitt 18.4),
werden wir doch nie einen Zustand bekommen, der exakt wie das Gleichgewicht
verteilt ist.
Tatsächlich ist es, zumindest theoretisch, möglich, ein der MCMC Methode verwandtes
Verfahren anzugeben, das perfektes Ziehen von Stichproben nach der Verteilung
π ermöglicht, sogar, wenn wir über die Konvergenzgeschwindigkeit gar
nichts wissen. Hierzu nehmen wir an, dass F1,F2,... u.i.v. zufällige Abbildungen
E → E sind mit P[F (x) =y] =p(x, y) für alle x, y ∈ E. Wir hatten gesehen,
dass wir die Markovkette X mit Start in x durch Xn = Fn ◦ Fn−1 ◦···◦F1(x)
konstruieren können.
Nun gilt F n 1 (x) :=F1◦ ...◦ Fn(x) D = Fn ◦ ...◦ F1(x). Also gilt P[F n 1 (x) =
y] n→∞
−→ π(y) für jedes y. Ist nun aber F n 1 die konstante Abbildung, etwa F n 1 ≡ x∗ .