Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.5 Ergänzung: Signierte Maße 157
Beweis. Sei α := sup � ϕ(A) : A ∈A � .Wirmüssen zeigen, dass ϕ das Maximum
α tatsächlich annimmt, dass es also ein Ω + ∈Agibt mit ϕ(Ω + )=α. Dannist
nämlich α ∈ R, und für A ⊂ Ω + , A ∈Agilt
α ≥ ϕ(Ω + \ A) =ϕ(Ω + ) − ϕ(A) =α − ϕ(A),
also ϕ(A) ≥ 0. Für A ⊂ Ω − , A ∈Aist ϕ(A) ≤ 0,denn
α ≥ ϕ(Ω + ∪ A) =ϕ(Ω + )+ϕ(A) =α + ϕ(A).
Wir konstruieren nun Ω + mit ϕ(Ω + ) = α. Sei(An)n∈Neine Folge in A mit
α = lim
n→∞ ϕ(An). Setze A := �∞ n=1 An. Da jedes An noch Anteile mit negati-
”
ver Masse“ enthalten kann, können wir nicht einfach Ω + = A wählen. Vielmehr
müssen wir Schicht für Schicht die negativen Anteile abfischen.
Setze A 0 n := An und A 1 n := A \ An sowie
�
n�
Pn :=
i=1
A s(i)
i
: s ∈{0, 1} n
�
die Partition von A,dievonA1,...,An erzeugt wird. Offensichtlich gilt für B,C ∈
Pn entweder B = C oder B ∩ C = ∅. Außerdem gilt An = �
B. Setze
und
B∈Pn
B⊂An
P − n := {B ∈Pn : ϕ(B) < 0}, P + n := Pn \P − n ,
B∈Pn
B⊂An
Cn := �
B∈P +
n
B⊂An
B∈P + n
Wegen der endlichen Additivität von ϕ ist
ϕ(An) = �
ϕ(B) ≤ �
ϕ(B) ≤ �
ϕ(B) =ϕ(Cn).
B.
B∈P + n
Für m ≤ n setze En m = Cm ∪ ...∪ Cn.Für m