Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

466 21 Die Brown’sche Bewegung
Um jedoch Integrale von diesem Typ auch für eine größere Klasse von Integranden
und Integratoren zu definieren, wollen wir hier vorbereitend die Pfadeigenschaften
der Brown’schen Bewegung, und allgemeiner von stetigen lokalen Martingalen, genauer
untersuchen.
Definition 21.52. Sei G :[0, ∞) → R stetig. Wir definieren für jedes t ≥ 0 die
Variation bis t durch
V 1
t (G) :=sup
� n−1 � �
�Gti+1 − Gti
i=0
�
�
� :0=t0 ≤ t1 ≤ ...≤ tn = t, n ∈ N .
Wir sagen, dass G von lokal endlicher Variation ist, falls V 1
t (G) < ∞ für alle
t ≥ 0 und schreiben CV für den Vektorraum der stetigen Funktionen G mit stetiger
Variation t ↦→ V 1
t (G).
Bemerkung 21.53. Offenbar gilt V 1 (F + G) ≤ V 1 (F )+V 1 (G) und V 1 (αG) =
|α| V 1 (G) für alle stetigen F, G :[0, ∞) → R und für alle α ∈ R. AlsoistCV
tatsächlich ein Vektorraum. ✸
Bemerkung 21.54. (i) Ist G von der Form Gt = � t
f(s) ds für eine lokal inte-
0
grierbare Funktion f,soistG∈CV mit V 1
t (G) = � t
|f(s)| ds.
(ii) Ist G = G + − G − die Differenz zweier stetiger, monoton wachsender Funktionen
G + und G − ,soist
V 1
t (G) − V 1
s (G) ≤ (G + t − G + s )+(G − t − G − s ) für alle t>s, (21.50)
also ist G ∈CV. Gleichheit gilt in (21.50), wenn G − und G +
0
” nicht auf den selben
Mengen wachsen“, also formal gesprochen die Verteilungsfunktionen gegenseitig
singulärer Maße μ − und μ + sind. Diese Maße μ − und μ + sind dann die Jordan-
Zerlegung des signierten Maßes μ = μ + − μ − , dessen Verteilungsfunktion G ist.
Das Lebesgue-Stieltjes Integral wird dann definiert durch
� t
0
�
F (s) dGs :=
(iii) Ist G ∈CV,sosindoffenbar
G + t := 1�
�
1
Vt (G)+Gt
2
[0,t]
Fdμ + �
− Fdμ
[0,t]
− . (21.51)
und G − t := 1�
�
1
Vt (G) − Gt
2
eine Zerlegung von G wie in (ii) beschrieben. ✸
Dass die Pfade der Brown’schen Bewegung unendliche Variation haben, folgt schon
aus ihrer Nichtdifferenzierbarkeit. Wir können dies aber auch leicht direkt einsehen.