Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

32 1 Grundlagen der Maßtheorie
Definition 1.69. Ein Maßraum (Ω,A,μ) heißt vollständig, falls Nμ ⊂A.
Bemerkung 1.70 (Vervollständigung eines Maßraums). Sei (Ω,A,μ) ein Maßraum.
Es gibt genau eine kleinste σ-Algebra A ∗ ⊃ A und eine Fortsetzung
μ ∗ von μ auf A ∗ , sodass (Ω,A ∗ ,μ ∗ ) vollständig ist. (Ω,A ∗ ,μ ∗ ) heißt die Ver-
vollständigung von (Ω,A,μ). In der Notation des Beweises von Satz 1.53 ist
�
Ω,M(μ ∗ ),μ ∗� �
� ∗
M(μ )
diese Vervollständigung.
Ferner ist M(μ ∗ )=σ(A∪Nμ) ={A ∪ N : A ∈A,N∈Nμ} und μ ∗ (A ∪ N) =
μ(A) für jedes A ∈Aund N ∈Nμ.
Da wir diese Aussagen im Folgenden nicht benötigen werden, verzichten wir auf
den Beweis und verweisen auf die gängigen Maßtheoriebücher, etwa [43].
Beispiel 1.71. Ist λ das Lebesgue-Maß (genauer: das Lebesgue-Borel-Maß) auf
(Rn , B(Rn )), solässt sich λ eindeutig fortsetzen zu einem Maß λ∗ auf
B ∗ (R n )=σ(B(R n ) ∪N),
wo N die Menge der Teilmengen der Lebesgue-Borel’schen Nullmengen bezeichnet.
B ∗ (R n ) heißt σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen. Zur Unterscheidung
wird manchmal λ das Lebesgue-Borel-Maß genannt und λ ∗ das Lebesgue-
Maß. Wir werden diese Unterscheidung im Folgenden aber nicht benötigen. ✸
Beispiel 1.72. Sei μ = δω auf einem Messraum (Ω,A). Ist{ω} ∈A, so ist die
Vervollständigung A ∗ = 2 Ω , μ ∗ = δω. Im Extremfall der trivialen σ-Algebra
A = {∅,Ω} hingegen ist Nμ = {∅}, also die Vervollständigung A ∗ = {∅,Ω},
μ ∗ = δω. Man beachte, dass man auf dieser trivialen σ-Algebra die Dirac-Maße zu
verschiedenen Punkten aus Ω nicht unterscheiden kann. ✸
Definition 1.73. Sei (Ω,A,μ) ein Messraum und Ω ′ ∈A. Dann wird durch
μ � � (A) :=μ(A) für A ∈A mit A ⊂ Ω′
′
Ω
ein Maß auf der Spur-σ-Algebra A � � definiert. Dieses Maß nennen wir die Ein-
′
Ω
schränkung von μ auf Ω ′ .
Beispiel 1.74. Die Einschränkung des Lebesgue-Borel-Maßes λ von (R, B(R)) auf
[0, 1] ist ein W-Maß auf ([0, 1], B(R) � � ). Allgemeiner nennen wir für messbares
[0,1]
A ∈B(R) die Einschränkung λ � � das Lebesgue-Maß auf A. Oftmals wird als Sym-
A
bol wieder λ verwendet, weil wir nicht zu viele kleinliche Unterscheidungen treffen
wollen.
Wir sehen später (Korollar 1.84), dass B(R) � � = B(A), wobei B(A) die Borel’sche
A
σ-Algebra auf A ist, die von den in A (relativ) offenen Mengen erzeugt wird. ✸