Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

132 6 Konvergenzsätze
Satz 6.19. Für endliches μ ist F⊂L1 (μ) genau dann gleichgradig integrierbar,
wenn es eine Funktion H :[0, ∞) → [0, ∞) gibt mit limx→∞ H(x)/x = ∞ und
�
sup H(|f|) dμ < ∞.
f∈F
H kann sogar monoton wachsend und konvex gewählt werden.
Beweis. ⇐= “ Es existiere H mit den angegebenen Eigenschaften. Dann gilt
”
Ka := infx≥a H(x)
x ↑∞,wenna↑∞.Alsoistfür a>0
sup
f∈F
�
|f| dμ ≤
{|f|≥a}
1
Ka
sup
f∈F
�
H(|f|) dμ
{|f|≥a}
�
H (|f|) dμ a→∞
−→ 0.
≤ 1
Ka
sup
f∈F
” =⇒ “ Sei F gleichgradig integrierbar. Da μ(Ω) < ∞ gilt, gibt es (nach
Satz 6.17) eine Folge an ↑∞mit
�
sup (|f|−an)
f∈F
+ dμ < 2 −n .
Wir setzen
H(x) =
∞�
(x − an) +
n=1
für jedes x ≥ 0.
Dann ist H als Summe konvexer Funktionen konvex. Ferner gilt für jedes n ∈ N
und x ≥ 2an, dassH(x)/x ≥ �n k=1 (1 − ak/x) + ≥ n/2, also gilt H(x)/x ↑∞.
Schließlich ist nach dem Satz über monotone Konvergenz für jedes f ∈F
�
∞�
�
H(|f(ω)|) μ(dω) = (|f|−an) + ∞�
dμ ≤ 2 −n =1. ✸
n=1
Zur Notation � · �p erinnere man sich an Definition 4.16.
Definition 6.20. Sei p ∈ [1, ∞]. Eine Familie F ⊂ L p (μ) heißt beschränkt in
L p (μ), falls sup{�f�p : f ∈F}< ∞ gilt.
Korollar 6.21. Ist μ(Ω) < ∞ und p>1 sowie F beschränkt in L p (μ), dann ist F
gleichgradig integrierbar.
Beweis. Wende Satz 6.19 an mit der konvexen Abbildung H(x) =x p . ✷
n=1