Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5.5 Der Poissonprozess 119
– zufällig sein und unabhängig für disjunkte Intervalle,
– zeitlich homogen in dem Sinne, dass die Anzahl der Klicks in I =(a, b] die selbe
Verteilung hat, wie die Anzahl der Klicks in c + I =(a + c, b + c],
– einen Erwartungswert besitzen,
– keine Doppelpunkte aufweisen: der Zähler macht zu jedem Zeitpunkt nur einen
Klick.
Wir formalisieren diese Forderungen, indem wir die Notation einführen:
I := {(a, b] : a, b ∈ [0, ∞), a≤ b}.
ℓ((a, b]) := b − a (die Länge des Intervalls I =(a, b]).
Für I ∈Isei NI die Anzahl der Klicks nach Zeitpunkt a und nicht später als b.
Speziell setzen wir Nt := N (0,t] für die Gesamtzahl aller Klicks bis zur Zeit t. Die
obigen Forderungen lassen sich nun übersetzen zu: (NI, I ∈I) ist eine Familie
von Zufallsvariablen mit Werten in N0 mit den Eigenschaften
(P1) NI∪J = NI + NJ, falls I ∩ J = ∅ und I ∪ J ∈Iist.
(P2) Die Verteilung von NI hängt nur von der Länge von I ab: PNI = PNJ für
alle I,J ∈Imit ℓ(I) =ℓ(J).
(P3) Ist J ⊂ I mit I ∩ J = ∅ für alle I,J ∈Jmit I �= J, soist(NJ, J∈J)
eine unabhängige Familie.
(P4) Für jedes I ∈Igilt E[NI] < ∞.
(P5) Es gilt lim supε↓0 ε−1 P[Nε ≥ 2] = 0.
Die Bedeutung von (P5) erklärt sich durch die folgende Rechnung: Setzen wir λ :=
lim supε↓0 ε−1 k k→∞
P[Nε ≥ 2],soist(wegen(1 − ak/k) −→ e−a , falls ak
P � es gibt einen Doppelklick in (0, 1] � = lim
n→∞ P
=1− lim
n→∞ P
2
=1− lim
n→∞
n −1
k=0
=1− lim
n→∞
=1− e −λ .
� 2 n �−1
k→∞
−→ a)
� N(k 2 −n ,(k+1)2 −n ] ≥ 2 ��
k=0
� 2 n �−1
�
N(k 2−n ,(k+1)2−n ] ≤ 1 ��
�
k=0
P � N (k 2 −n ,(k+1)2 −n ] ≤ 1 �
� 1 − P[N2 −n ≥ 2] � 2 n
Wir müssen also λ =0fordern; dies ist aber gerade (P5).