Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
(für ein zufälliges x ∗ ), so ist auch F m 1 ≡ x ∗ für jedes m ≥ n. Wenn man also
durch geschickte Wahl der Verteilung der Fn erreichen kann, dass die Stoppzeit
T := inf{n ∈ N : F n 1 ist konstant} fast sicher endlich ist (und das geht immer), so
ist P[F T 1 (x) =y] =π(y) für alle x, y ∈ E. Ein einfacher Algorithmus für dieses
Verfahren sieht so aus:
(1) Setze F ← idE und n ← 0.
(2) Setze n ← n +1. Erzeuge Fn und setze F ← F ◦ Fn.
(3) Falls F nicht die konstante Abbildung ist, gehe zu (2).
(4) Ausgabe F (∗).
Dieses Verfahren wird Kopplung aus der Vergangenheit (coupling from the past)
genannt und geht auf Propp und Wilson [130] zurück (siehe auch [54, 55, 158, 129,
131, 91]). Interessante Simulationen sowie ein Forschungsüberblick finden sich im
Internet unter http://www.dbwilson.com/.
Praktisch ergeben sich zwei Probleme: Es muss die komplette Abbildung Fn erzeugt
und mit F verknüpft werden. Die Rechenzeit dafür ist mindestens von der
Ordnung der Größe des Raums E. Außerdem erfordert das Prüfen von F auf Konstanz
einen Rechenaufwand von gleicher Größenordnung. Das Verfahren lässt sich
effektiv nur durchführen, wenn man mehr Struktur zur Verfügung hat, etwa, wenn
E eine Halbordnung mit einem kleinsten Element 0 und einem größten Element 1
besitzt (wie beim Ising-Modell) und man die Abbildungen Fn so wählen kann, dass
sie fast sicher monoton wachsend sind. In diesem Fall braucht man immer nur F (0)
und F (1) zu berechnen, und F ist konstant, falls F (0) =F (1).
18.4 Konvergenzgeschwindigkeit
Bei den bisherigen Betrachtungen ist die Frage nach der Geschwindigkeit der Konvergenz
der Verteilung PXn gegen π ignoriert worden. Für praktische Anwendungen
ist aber dies genau die wichtigste Frage. Wir wollen hier nicht auf die Details
eingehen, sondern das Thema nur kurz anreißen. Ohne Einschränkung sei
E = {1,...,N}. Istpreversibel (Gleichung (18.12)), so wird durch f ↦→ pf ein
symmetrischer linearer Operator auf L2 (E,π) definiert (Übung!). Alle Eigenwerte
λ1,...,λN (mit Mehrfachnennung je nach Vielfachheit) sind reell und dem Betrage
nach nicht größer als 1, dapstochastisch ist. Wir können also die Eigenwerte dem
Betrage nach ordnen: λ1 =1≥|λ2| ≥... ≥|λN |. Istpirreduzibel und aperiodisch,
so ist |λ2| < 1. Seiμ1 = π, μ2,...,μN eine Orthonormalbasis aus Links-
Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ1,...,λN .Für jedes μ = α1μ1 + ...+ αN μN
ist dann μpn = �N i=1 λni αi μi, also
�μp n − π�TV ≤ C|λ2| n
(18.14)