Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

152 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
(ii) Betrachte die Bernoulli-Verteilungen Berp und Berq für p, q ∈ [0, 1]. Istp∈ (0, 1), so gilt Berq ≪ Berp. Istp ∈{0, 1}, soistBerq ≪ Berp genau dann, wenn
p = q, und Berq ⊥ Berp genau dann, wenn q =1− p.
(iii) Betrachte die Poisson-Verteilungen Poiα und Poiβ für α, β ≥ 0. Es ist genau
dann Poiα ≪ Poiβ,wennβ>0 oder α =0.
(iv) Betrachte die unendlichen Produktmaße (siehe Satz 1.64) Ber ⊗N
p
auf Ω = {0, 1} N .DannistBer ⊗N
p
und Ber ⊗N
q
⊥ Ber ⊗N
q , falls p �= q. In der Tat: Sei
Xn((ω1,ω2,...)) = ωn für jedes n ∈ N die Projektion von Ω auf die n-te Koordinate.
Dann ist (Xn)n∈N unabhängig und Bernoulli-verteilt (siehe Beispiel 2.18)
mit Parameter r unter Ber ⊗N
r . Nach dem starken Gesetz der großen Zahl gibt es also
für r ∈{p, q} eine messbare Menge Ar ⊂ Ω mit Ber ⊗N
r (Ω \ Ar) =0und
1
lim
n→∞ n
n�
Xi(ω) =r für jedes ω ∈ Ar.
i=1
Speziell ist also Ap ∩ Aq = ∅, falls p �= q, und damit Ber ⊗N
p ⊥ Ber ⊗N
q . ✸
Satz 7.33 (Zerlegungssatz von Lebesgue). Seien μ und νσ-endliche Maße auf
(Ω,A). Dann lässt sich ν auf eindeutige Weise zerlegen in den (bezüglich μ) absolutstetigen
Anteil νa und den singulären Anteil νs:
ν = νa + νs, wobei νa ≪ μ und νs ⊥ μ.
νa hat eine Dichte bezüglich μ, und dνa
dμ
ist A-messbar und μ–f.ü. endlich.
Korollar 7.34 (Satz von Radon-Nikodym). Seien μ und νσ-endliche Maße auf
(Ω,A). Dann gilt
ν hat eine Dichte bezüglich μ ⇐⇒ ν ≪ μ.
In diesem Fall ist dν
dν
dμ A-messbar und μ–f.ü. endlich. dμ heißt Radon-Nikodym-
Ableitung von ν nach μ.
Beweis. Die eine Richtung ist trivial. Sei also ν ≪ μ. Mit Satz 7.33 bekommen
wir, dass ν = νa eine Dichte bezüglich μ hat. ✷
Beweis (Satz 7.33). Die Idee geht auf v. Neumann zurück, wir folgen der Darstellung
in [37].
Wir können uns durch die üblichen Ausschöpfungsargumente auf den Fall beschränken
wo μ und ν endlich sind. Nach Satz 4.19 ist die kanonische Inklusion