Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

7.3 Hilberträume 149
Da V vollständig ist und W abgeschlossen, ist auch W vollständig, also gibt es ein
n→∞
y ∈ W mit wn −→ y. Setze nun z := x−y.Dannist�z� = limn→∞ �wn−x� =
c aufgrund der Stetigkeit der Norm (Lemma 7.23).
Betrachte ein beliebiges w ∈ W \{0}. Wir setzen ϱ := −〈z,w〉/�w�2 und erhalten
y + ϱw ∈ W , also
c 2 ≤ �x − (y + ϱw)� 2 = �z� 2 + ϱ 2 �w� 2 +2ϱ 〈z,w〉 = c 2 − ϱ 2 �w� 2 .
Folglich ist 〈z,w〉 =0für alle w ∈ W und damit z ∈ W ⊥ .
Die Eindeutigkeit der Darstellung klar: Ist x = y ′ + z ′ eine weitere orthogonale
Zerlegung, so ist y − y ′ ∈ W und z − z ′ ∈ W ⊥ sowie y − y ′ + z − z ′ =0, also ist
0 = �y − y ′ + z − z ′ � 2 = �y − y ′ � 2 + �z − z ′ � 2 +2〈y − y ′ ,z− z ′ 〉
= �y − y ′ � 2 + �z − z ′ � 2 .
Es folgt y = y ′ und z = z ′ . ✷
Satz 7.26 (Darstellungssatz von Riesz-Fréchet). Sei (V,〈 · , · 〉) ein Hilbertraum
und F : V → R eine Abbildung. Dann sind äquivalent:
(i) F ist stetig und linear.
(ii) Es gibt ein f ∈ V mit F (x) =〈x, f〉 für alle x ∈ V .
Das Element f ∈ V in (ii) ist eindeutig bestimmt.
Beweis. ” (ii) =⇒ (i)“ Für jedes f ∈ V ist per Definition des Skalarprodukts die
Abbildung x ↦→ 〈x, f〉 linear. Nach Lemma 7.23 ist diese Abbildung auch stetig.
” (i) =⇒ (ii)“ Ist F ≡ 0, sowähle f =0. Sei nun F nicht identisch Null. Da F
stetig ist, ist der Kern W := F −1 ({0}) ein abgeschlossener echter linearer Unterraum
von V .Seiv∈ V \W und v = y +z für y ∈ W und z ∈ W ⊥ die orthogonale
Zerlegung von v. Dannistz�= 0, und F (z) =F (v) − F (y) =F (v) �= 0, und
wir können u := z/F(z) ∈ W ⊥ definieren. Offenbar ist F (u) =1, und für jedes
x ∈ V ist F (x − F (x)u) =F (x) − F (x)F (u) =0, also x − F (x)u ∈ W
und damit 〈x − F (x)u, u〉 =0. Folglich ist F (x) =〈x, u〉/�u�2 . Setzen wir nun
f := u/�u�2 ,soistF (x) =〈x, f〉 für alle x ∈ V .
” Eindeutigkeit“ Sei 〈x, f〉 = 〈x, g〉 für alle x ∈ V . Setzen wir x = f − g, so
erhalten wir 0=〈f − g, f − g〉, also f = g. ✷
Wir werden den Darstellungssatz im folgenden Abschnitt für den Raum L 2 (μ) brauchen
statt für den Hilbertraum L 2 (μ). Mit ein bisschen abstract nonsense lässt sich
aber der vorangehende Satz auf diese Situation anwenden. Wir erinnern daran, dass
N = {f ∈L 2 (μ) : 〈f,f〉 =0} der Unterraum der Funktionen ist, die fast sicher
Null sind, und L 2 (μ) =L 2 (μ)/N der Quotientenraum. Dies ist ein Spezialfall der