Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Beweis. Setze
Yn :=
�
�
� n−1
� 1 �
�
�
� Xk − E[X0 |I] �
�n
�
k=0
p
für jedes n ∈ N.
20.3 Beispiele 421
Nach Lemma 20.15 ist (Yn)n∈N gleichgradig integrierbar, und nach dem Birkhoff’schen
Ergodensatz gilt Yn
lim
n→∞
n→∞
−→ 0 fast sicher. Nach Satz 6.25 gilt daher
E[Yn] =0.
Ist τ ergodisch, so ist E[X0 |I]=E[X0]. ✷
20.3 Beispiele
Beispiel 20.17. Sei (X, (Px)x∈E) eine positiv rekurrente, irreduzible Markovkette
auf dem abzählbaren Raum E mit invarianter Verteilung π.Dannistπ({x}) > 0 für
jedes x ∈ E. Setze Pπ = �
x∈E π({x})Px. DannistXstationär auf (Ω,A, Pπ).
Wir schreiben τ für den Shift, also Xn = X0 ◦ τ n .
∞�
Sei nun A ∈ I invariant. Dann ist A ∈ T = σ(Xn,Xn+1,...). Nach der
starken Markoveigenschaft ist daher für jede endliche Stoppzeit σ (mit Fσ die σ-
Algebra der σ-Vergangenheit)
n=1
Pπ[X ∈ A � �Fσ] =PXσ [X ∈ A]. (20.4)
In der Tat ist {X ∈ A} = {X ∈ τ −n (A)} = {(Xn,Xn+1,...) ∈ A}. Für B ∈Fσ
erhalten wir mit der Markoveigenschaft (in der dritten Zeile)
� �
Eπ {X∈B} {X∈A} =
=
=
∞� �
n=0 x∈E
∞� �
n=0 x∈E
∞� �
n=0 x∈E
�
Pπ X ∈ B, σ = n, Xn = x, X ∈ A �
�
Pπ X ∈ B, σ = n, Xn = x, X ◦ τ n ∈ A �
�
Pπ X ∈ B, σ = n, Xn = x � Px[X ∈ A]
�
= Eπ {X∈B} PXσ [X ∈ A]� .
Ist speziell x ∈ E und σx =inf{n ∈ N0 : Xn = x}, soistσx < ∞, weil X
rekurrent und irreduzibel ist. Es folgt aus (20.4) für jedes x ∈ E
Pπ[X ∈ A] =Eπ [Px[X ∈ A]] = Px[X ∈ A].
Also ist PXn [X ∈ A] =Pπ[X ∈ A] fast sicher und daher (mit σ = n in (20.4))