Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

254 13 Konvergenz von Maßen
α(C) := lim μnk (C)
k→∞
(13.10)
für jedes C ∈ C existiert. Angenommen es gibt ein Maß μ auf der Borel’schen
σ-Algebra E von E, sodass
μ(A) =sup � α(C) : C ∈C mit C ⊂ A �
für A ⊂ E offen. (13.11)
Dann ist
μ(E) ≥ sup α(Kn) =suplim
μnk (Kn)
n∈N
n∈N k→∞
≥ sup lim sup
n∈N k→∞
�
= lim sup μnk
k→∞
(E).
Für offenes A und für C ∈Cmit C ⊂ A ist ferner
α(C) = lim
k→∞
1
μnk (E) −
n
μnk (C) ≤ lim inf μnk (A),
k→∞
also μ(A) ≤ lim infk→∞ μnk (A). Nach dem Portemanteau Theorem (Satz 13.16)
ist μ =w-lim μnk , und damit ist F als schwach relativ folgenkompakt erkannt. Es
k→∞
bleibt zu zeigen, dass es ein Maß μ auf (E,E) gibt, das (13.11) erfüllt.
Die Mengenfunktion α auf C ist offenbar monoton, additiv und subadditiv:
Wir definieren
und
α(C1) ≤ α(C2), falls C1 ⊂ C2,
α(C1 ∪ C2) =α(C1)+α(C2),
α(C1 ∪ C2) ≤ α(C1)+α(C2).
falls C1 ∩ C2 = ∅,
β(A) :=sup � α(C) : C ∈C mit C ⊂ A �
μ ∗ (G) :=inf � β(A) : A ⊃ G ist offen �
�
für A ⊂ E offen
für G ∈ 2 E .
(13.12)
Offenbar ist β(A) =μ ∗ (A) für jedes offene A. Es reicht zu zeigen (Schritte 1-3
unten), dass μ ∗ ein äußeres Maß ist (siehe Definition 1.46), und (4. Schritt) dass
die σ-Algebra der μ ∗ -messbaren Mengen (siehe Definition 1.48 und Lemma 1.52)
die abgeschlossenen Mengen und damit ganz E enthält. Nach Lemma 1.52 ist dann
nämlich μ∗ ein Maß auf der σ-Algebra der μ∗-messbaren Mengen, und die Einschränkung
μ := μ∗� �E erfüllt μ(A) =μ∗ (A) =β(A) für alle offenen A, also gilt
Gleichung (13.11).
Offenbar ist μ ∗ (∅) =0, und μ ∗ ist monoton. Um zu zeigen, dass μ ∗ ein äußeres
Maß ist, müssen wir nur noch die σ-Subadditivität nachweisen.