Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

12.3 Satz von de Finetti 229
Definition 12.20 (Bedingte Unabhängigkeit). Seien (Ω,F, P) ein W-Raum, A⊂
F eine Teil-σ-Algebra sowie (Ai)i∈I eine beliebige Familie von Teil-σ-Algebren
von F. Die Familie (Ai)i∈I heißt unabhängig gegeben A, falls für jedes endliche
J ⊂ I und jede Wahl von Aj ∈Aj für j ∈ J gilt
� �
P
j∈J
� �
Aj �A
= �
j∈J
P � �
Aj �A �
fast sicher. (12.9)
Eine Familie (Xi)i∈I von Zufallsvariablen auf (Ω,F, P) heißt unabhängig (und
identisch verteilt) gegeben A, falls die erzeugten σ-Algebren (σ(Xi))i∈I unabhängig
gegeben A sind (und die bedingten Verteilungen P[Xi ∈ · |A] alle gleich sind).
Beispiel 12.21. Jede beliebige Familie (Ai)i∈I von σ-Algebren von F ist unabhängig
gegeben F. In der Tat ist in diesem Fall nämlich (mit A = �
j∈J Aj)
P[A|F] = A = �
j∈J
Aj
= �
j∈J
P � �
Aj �F �
fast sicher. ✸
Beispiel 12.22. Ist (Ai)i∈I eine unabhängige Familie von σ-Algebren, und ist A
trivial, dann ist (Ai)i∈I unabhängig gegeben A. ✸
Beispiel 12.23. Es gibt keine ” Monotonie“ bei der bedingten Unabhängigkeit in folgendem
Sinne: Sind F1, F2 und F3 σ-Algebren mit F1 ⊂F2 ⊂F3, und ist (Ai)i∈I
unabhängig sowohl gegeben F1 wie auch gegeben F3, so folgt noch nicht die Unabhängigkeit
gegeben F2.
Um dies zu illustrieren, nehmen wir an, dass X und Y nichttriviale, unabhängige,
reelle Zufallsvariablen sind. Wir wählen F1 = {∅,Ω}, F2 = σ(X + Y ) und F3 =
σ(X, Y ). Dann sind σ(X) und σ(Y ) unabhängig gegeben F1 und gegeben F3, nicht
jedoch gegeben F2. ✸
Sei X =(Xn)n∈N ein stochastischer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,F, P) mit Werten in einem polnischen Raum E. SeiE die austauschbare σ-
Algebra und T die terminale σ-Algebra.
Satz 12.24 (de Finetti). Die Familie X =(Xn)n∈N ist genau dann austauschbar,
wenn es eine σ-Algebra A⊂Fgibt, sodass (Xn)n∈N u.i.v. gegeben A ist. In
diesem Fall kann A = E oder A = T gewählt werden.
Beweis. ” =⇒ “ Sei X austauschbar, und sei A = E oder A = T .Für jedes
n ∈ N sei fn : E → R eine messbare und beschränkte Abbildung. Setze
ϕk(x1,...,xk) =
k�
fi(xi) für jedes k ∈ N.
i=1