Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 323
(16.9) äquivalent zu der Bedingung �
(−1,1) x2 ν(dx) < ∞. Daν0 stets endlich ist,
ist dies wiederum äquivalent zu � (x2 ∧ 1) ν(dx) < ∞.
Definition 16.16. Ein σ-endliches Maß ν auf R mit ν({0}) =0und
� �x 2 ∧ 1 � ν(dx) < ∞ (16.10)
heißt kanonisches Maß.Sindσ 2 ≥ 0 und b ∈ R, so heißt (σ 2 ,b,ν) ein kanonisches
Tripel.
Zu jedem kanonischen Tripel gehört über die Konstruktion (16.8) eine unbegrenzt
teilbare Zufallsvariable. Wir setzen
ψ0(t) = log E � e itX0� �
� � itx
= e − 1 ν(dx)
und für k ∈ N
ψk(t) = log E � e it(Xk−αk) � �
=
Also genügt
der Lévy-Khinchin Formel
ψ(t) :=logE � e itX� = − σ2
2 t2 + ibt +
ψ(t) =− σ2
2 t2 + ibt +
I0
Ik
� e itx − 1 − itx � ν(dx).
∞�
ψk(t)
k=0
�
�e � itx
− 1 − itx {|x|