Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

58 2 Unabhängigkeit
FY (x) =P � Xi ≤ x für jedes i =1,...,n �
� �
= F {1,...,n} (x,...,x) =
n� � −θix
1 − e � .
Für die Zufallsvariable Z := min(X1,...,Xn) hat die Verteilungsfunktion eine
schöne geschlossene Form
i=1
FZ(x) =1− P[Z >x]
=1− P � Xi >x für jedes i =1,...,n �
n�
=1− e −θix =1− exp � − (θ1 + ...+ θn) x � .
i=1
Mit anderen Worten: Z ist exponentialverteilt mit Parameter θ1 + ...+ θn. ✸
Beispiel 2.25. Seien μi ∈ R und σ2 i > 0, i ∈ I, sowie(Xi)i∈Ireell mit gemeinsamen
Dichtefunktionen (für endliches J ⊂ I)
fJ(x) = �
�
− � (xj − μj) 2 �
für x ∈ R J .
j∈J
� � 1
2 − 2 2πσj exp
Dann sind die (Xi)i∈I unabhängig und normalverteilt mit Parametern (μi,σ2 i ).
Für jedes endliche I = {i1,...,in} (mit paarweise unterschiedlichen i1,...,in)
ist der Vektor Y =(Xi1 ,...,Xin ) n-dimensional normalverteilt mit μ = μI :=
(μi1 ,...,μin ) und Σ = ΣI die Diagonalmatrix mit Einträgen σ2 i1 ,...,σ2 in (vergleiche
Beispiel 1.105(ix)). ✸
Satz 2.26. Sei K eine beliebige Menge und Ik, k ∈ K, beliebige paarweise disjunkte
Indexmengen sowie I = �
Ik.
k∈K
Ist die Familie (Xi)i∈I unabhängig, dann sind auch die σ-Algebren (σ(Xj,j ∈
Ik))k∈K unabhängig.
Beweis. Sei für k ∈ K
�
�
Zk =
j∈Ik
j∈J
2σ 2 j
�
Aj : Aj ∈ σ(Xj), #{j ∈ Ik : Aj �= Ω} < ∞
der Ring der endlichdimensionalen Zylinder. Offenbar ist Zk schnittstabil und
σ(Zk) =σ(Xj,j ∈ Ik). Also reicht es nach Satz 2.13(iii) zu zeigen, dass (Zk)k∈K
unabhängig ist. Nach Satz 2.13(ii) können wir sogar annehmen, dass K endlich ist.
Für k ∈ K seien nun Bk ∈Zk und Jk ⊂ Ik endlich mit Bk = �
gewisse Aj ∈ σ(Xj). Setze J = �
k∈K Jk.Dannist
j∈Jk Aj für